Cientistas e matemáticos há muito se interessam pelo problema de empacotar poliedros em uma caixa. Este problema tem aplicações em áreas como cristalografia, ciência dos materiais e até mesmo na embalagem de contêineres para transporte.

Um dos resultados mais famosos nesta área é a conjectura de Kepler, que afirma que nenhum arranjo de esferas idênticas pode ter uma densidade maior do que a rede cúbica de face centrada (FCC). Esta conjectura foi proposta pela primeira vez em 1611 por Johannes Kepler, mas só foi provada em 1998 por Thomas Hales.

A rede FCC é um arranjo tridimensional de esferas em que cada esfera é cercada por outras 12 esferas. Este arranjo tem uma densidade de cerca de 74%, o que significa que cerca de 26% do espaço na rede está vazio.

A conjectura de Kepler também é verdadeira para outros poliedros, como cubos e octaedros. No entanto, os arranjos de empacotamento ideais para estes poliedros são mais complicados do que a rede FCC.

Por exemplo, o arranjo de empacotamento ideal para cubos é a rede cúbica de corpo centrado (BCC), na qual cada cubo é cercado por outros 8 cubos. A rede BCC tem uma densidade de cerca de 68%, o que significa que cerca de 32% do espaço na rede está vazio.

O arranjo de empacotamento ideal para octaedros é a rede cúbica simples (SC), na qual cada octaedro é cercado por outros 6 octaedros. A rede SC tem uma densidade de cerca de 52%, o que significa que cerca de 48% do espaço na rede está vazio.

Cientistas e matemáticos ainda estão estudando o problema de empacotar poliedros em uma caixa. Existem muitas questões em aberto nesta área, tais como os arranjos de empacotamento ideais para outros poliedros e os arranjos mais densos possíveis para misturas de diferentes poliedros.