Embora as palavras em inglês "sequência" e "série" tenham significados semelhantes, na matemática elas são conceitos completamente diferentes. Uma sequência é uma lista de números colocados em uma ordem definida, enquanto uma série é a soma de tal lista de números. Existem muitos tipos de sequências, incluindo aquelas baseadas em listas infinitas de números. Sequências diferentes e as séries correspondentes têm propriedades diferentes e podem dar resultados surpreendentes.

TL; DR (muito longo; não lidos)

Sequências são listas de números colocados em uma ordem definida de acordo com a determinadas regras. A série correspondente a uma sequência é a soma dos números nessa sequência. As séries podem ser aritméticas, o que significa que existe uma diferença fixa entre os números da série, ou geométrica, o que significa que existe um fator fixo. Séries infinitas não têm número final, mas ainda podem ter uma soma fixa sob certas condições.

Tipos de Sequências e Séries

Sequências comuns são aritméticas ou geométricas. Numa sequência aritmética, cada número ou termo da sequência difere do termo anterior pela mesma quantidade. Por exemplo, se uma diferença de sequência aritmética for 2, uma sequência aritmética correspondente pode ser 1, 3, 5 .... Se a diferença for -3, uma sequência pode ser 4, 1, -2 .... A sequência aritmética é definido pelo número inicial e pela diferença.

Para seqüências geométricas, os termos diferem por um fator. Por exemplo, uma seqüência com um fator de 2 pode ser 2, 4, 8 ... e uma seqüência com um fator de 0,75 pode ser 32, 24, 18 .... A sequência geométrica é definida pelo número inicial e factor.

Os tipos de série dependem da sequência que está sendo adicionada. Uma série aritmética adiciona os termos de uma sequência aritmética e uma série geométrica acrescenta uma sequência geométrica.

Sequências e séries finitas e infinitas

As sequências e as séries correspondentes podem ser baseadas em um número fixo de termos ou um número infinito. Uma sequência finita tem um número inicial, uma diferença ou um fator e um número total fixo de termos. Por exemplo, a primeira seqüência aritmética acima com oito termos seria 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. A primeira seqüência geométrica acima com seis termos seria 2, 4, 8, 16, 32, 64. A série aritmética correspondente teria um valor de 64 e a série geométrica 126. As sequências infinitas não têm um número fixo de termos e os seus termos podem crescer até ao infinito, diminuir para zero ou aproximar-se de um valor fixo. A série correspondente também pode ter um resultado infinito, zero ou fixo.

Séries Convergentes e Divergentes

Séries infinitas são divergentes se a soma se aproxima do infinito à medida que o número de termos aumenta. Uma série infinita é convergente se sua soma se aproxima de um valor não infinito, como zero ou outro número fixo. As séries são convergentes se os termos da sequência subjacente se aproximarem rapidamente de zero.

A série que adiciona os termos da sequência infinita 1, 2, 4 ... é divergente porque os termos da sequência continuam crescendo, permitindo soma para alcançar um valor infinito à medida que o número de termos aumenta. A série 1, 0,5, 0,25 ... é convergente porque os termos rapidamente se tornam muito pequenos.

Enquanto seqüências são ordenadas listas de números e séries são somas, ambas podem ser ferramentas importantes na avaliação de conjuntos de números, e as propriedades de convergência ou divergência podem ter implicações na vida real. Uma série divergente geralmente representa uma condição instável, enquanto uma série convergente geralmente significa que um processo ou estrutura será estável.