A equação de Schrodinger é a equação mais fundamental da mecânica quântica, e aprender como usá-la e o que isso significa é essencial para qualquer físico iniciante. A equação tem o nome de Erwin Schrödinger, que ganhou o Prêmio Nobel junto com Paul Dirac em 1933 por suas contribuições à física quântica.

A equação de Schrodinger descreve a função de onda de um sistema mecânico quântico, que fornece informações probabilísticas sobre o localização de uma partícula e outras quantidades observáveis, como seu momento. A coisa mais importante que você perceberá sobre a mecânica quântica depois de aprender sobre a equação é que as leis no reino quântico são muito diferentes das da mecânica clássica.
A função de onda

A função de onda é uma dos conceitos mais importantes da mecânica quântica, porque cada partícula é representada por uma função de onda. É tipicamente dada a letra grega psi ( Ψ
), e depende da posição e do tempo. Quando você tem uma expressão para a função de onda de uma partícula, ela diz tudo o que pode ser conhecido sobre o sistema físico e valores diferentes para quantidades observáveis podem ser obtidos aplicando-se um operador a ele.

O quadrado do módulo da função de onda informa a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x
em um determinado momento t
. Este é apenas o caso se a função for "normalizada", o que significa que a soma do módulo quadrado em todos os locais possíveis deve ser igual a 1, ou seja, que a partícula está certa e que está localizada em algum lugar
.

Observe que a função de onda fornece apenas informações probabilísticas e, portanto, você não pode prever o resultado de nenhuma observação, embora possa determinar a média em muitas medições.

Você pode usar a função de onda para calcular o "valor esperado" para a posição da partícula no tempo t
, com o valor esperado sendo o valor médio de x
você seria obtido se você repetisse a medição várias vezes.

Novamente, isso não diz nada sobre uma medida específica. De fato, a função de onda é mais uma distribuição de probabilidade para uma única partícula do que qualquer coisa concreta e confiável. Usando o operador apropriado, você também pode obter valores de expectativa para momento, energia e outras quantidades observáveis.
A Equação de Schrodinger

A equação de Schrodinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve a evolução de um estado quântico em de maneira semelhante às leis de Newton (a segunda lei em particular) na mecânica clássica.

No entanto, a equação de Schrodinger é uma equação de onda para a função de onda da partícula em questão e, portanto, o uso da equação para prever o estado futuro de um sistema às vezes é chamado de "mecânica das ondas". A equação em si deriva da conservação de energia e é construída em torno de um operador chamado hamiltoniano.

A forma mais simples da equação de Schrodinger para escrever é:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ parcialΨ} {\\ parcial t}

Onde ℏ é a constante de Planck reduzida (ou seja, a constante dividida por 2π) e H
é o operador hamiltoniano , que corresponde à soma do poten energia inicial e energia cinética (energia total) do sistema quântico. O Hamiltoniano é uma expressão bastante longa, porém, portanto, a equação completa pode ser escrita como:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ parcial ^ 2 Ψ} {\\ parcial x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ parcialΨ} {\\ parcial t}

Observando que algumas vezes (para problemas explicitamente tridimensionais), a primeira derivada parcial é escrita como o operador laplaciano s ^{2 . Essencialmente, o Hamiltoniano atua na função de onda para descrever sua evolução no espaço e no tempo. Mas na versão independente do tempo da equação (isto é, quando o sistema não depende de t
), o hamiltoniano fornece a energia do sistema.}

Resolver a equação de Schrodinger significa encontrar a função de onda mecânica quântica que a satisfaz para uma situação específica.
A equação de Schrodinger dependente do tempo

A equação de Schrodinger dependente do tempo é a versão da seção anterior e descreve a evolução da onda função para uma partícula no tempo e no espaço. Um caso simples a ser considerado é uma partícula livre, porque a energia potencial V
\u003d 0, e a solução assume a forma de uma onda plana. Essas soluções têm a forma:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Onde k
\u003d 2π / λ,
λ
é o comprimento de onda , e ω
\u003d E
/ℏ.

Para outras situações, a parte de energia potencial da equação original descreve condições de contorno para a parte espacial da função de onda, e geralmente é separado em uma função de evolução no tempo e em uma equação independente do tempo.
A Equação de Schrodinger Independente do Tempo

Para situações estáticas ou soluções que formam ondas estacionárias (como o poço potencial, " soluções de estilo partícula em uma caixa), você pode separar a função de onda em partes do tempo e do espaço:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Quando você passar por isso na íntegra, a parte do tempo pode ser cancelada, deixando uma forma da equação de Schrodinger que somente
depende da posição da partícula. A função de onda independente do tempo é dada por:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Aqui E
é a energia do sistema mecânico quântico e H
é o operador hamiltoniano. Essa forma da equação assume a forma exata de uma equação de autovalor, com a função de onda sendo a autofunção e a energia sendo o autovalor quando o operador hamiltoniano é aplicado a ela. Expandindo o Hamiltoniano para uma forma mais explícita, ele pode ser escrito na íntegra como:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ parcial ^ 2 Ψ} {\\ parcial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

A parte do tempo da equação está contida na função:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Soluções para o Tempo Independente Equação de Schrodinger

A equação de Schrodinger, independente do tempo, se presta bem a soluções bastante diretas, porque reduz a forma completa da equação. Um exemplo perfeito disso é o grupo de soluções "partícula em uma caixa", em que se supõe que a partícula esteja em um potencial quadrado infinito bem em uma dimensão, portanto, existe um potencial zero (ou seja, V
\u003d 0) por toda parte, e não há chance da partícula ser encontrada fora do poço.

Há também um poço quadrado finito, onde o potencial nas “paredes” do poço não é infinito e, mesmo que seja maior que a energia da partícula, existe alguma possibilidade de encontrar a partícula fora dela devido ao tunelamento quântico. Para o potencial infinito, as soluções assumem a forma:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Onde L
é o comprimento do poço.

Um potencial de função delta é um conceito muito semelhante ao poço em potencial, exceto com a largura L que vai para zero (isto é, infinitesimal em torno de um único ponto) e a profundidade do poço indo para o infinito, enquanto o produto dos dois ( U
_{0) permanece constante. Nesta situação muito idealizada, existe apenas um estado de limite, dado por:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Com energia:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Solução de átomo de hidrogênio para a equação de Schrodinger

Finalmente, a solução de átomo de hidrogênio aplicações óbvias à física do mundo real, mas, na prática, a situação de um elétron ao redor do núcleo de um átomo de hidrogênio pode ser vista como bastante semelhante aos possíveis problemas dos poços. No entanto, a situação é tridimensional e é melhor descrita em coordenadas esféricas r
, θ
, ϕ
. A solução nesse caso é dada por:

(x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Onde P Quais são os polinômios de Legendre, R
são soluções radiais específicas e N
é uma constante que você corrige usando o fato de que a função de onda deve ser normalizada. A equação produz níveis de energia dados por:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Onde Z
aqui é o número atômico (então Z
\u003d 1 para um átomo de hidrogênio), e
, neste caso, é a carga de um elétron (em vez da constante e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ <0> é a permissividade do espaço livre e μ
é a massa reduzida, que é baseada nas massas do próton e do elétron em um átomo de hidrogênio. Essa expressão é boa para qualquer átomo parecido com hidrogênio, significando qualquer situação (incluindo íons) em que haja um elétron orbitando um núcleo central.