O cálculo da trajetória de um marcador serve como uma introdução útil a alguns conceitos-chave da física clássica, mas também tem muito escopo para incluir fatores mais complexos. No nível mais básico, a trajetória de uma bala funciona exatamente como a trajetória de qualquer outro projétil. A chave é separar os componentes da velocidade nos eixos (x) e (y) e usar a aceleração constante devido à gravidade para determinar o quão longe a bala pode voar antes de atingir o solo. No entanto, você também pode incorporar o arrasto e outros fatores, se quiser uma resposta mais precisa.

TL; DR (muito longo; não leu)

Ignore a resistência do vento para calcular a distância percorrida por uma bala usando a fórmula simples:

x \u003d v _0x√2h
g

Onde (v _{0x) é sua velocidade inicial, (h) é a altura é acionado e (g) é a aceleração devido à gravidade.}

Esta fórmula incorpora o arrasto:

x \u003d v _{x 0t - CρAv ^{2 t < sup> 2 ÷ 2m}}

Aqui, (C) é o coeficiente de arrasto da bala, (ρ) é a densidade do ar, (A) é a área da bala, (t) é a hora do voo e (m) é a massa da bala.
Antecedentes: (x) e (y) Componentes da velocidade

O ponto principal que você precisa entender ao calcular trajetórias é que velocidades, forças ou qualquer outra outro "vetor" (que tem uma direção e uma força) pode ser dividido em "componentes". Se algo estiver se movendo em um ângulo de 45 graus com a horizontal, pense em movendo-se horizontalmente com uma certa velocidade e verticalmente com uma certa velocidade. A combinação dessas duas velocidades e a consideração de diferentes direções dão a velocidade do objeto, incluindo a velocidade e a direção resultante.

Use as funções cos e sin para separar forças ou velocidades em seus componentes. Se algo está se movendo a uma velocidade de 10 metros por segundo, em um ângulo de 30 graus em relação à horizontal, o componente x da velocidade é:

v _{x \u003d v cos (θ) \u003d 10 m /s × cos (30 °) \u003d 8,66 m /s}

Onde (v) é a velocidade (ou seja, 10 metros por segundo) e você pode colocar qualquer ângulo no lugar de (θ) para se adequar ao seu problema. O componente (y) é dado por uma expressão semelhante:

v _{y \u003d v sen (θ) \u003d 10 m /s × sin (30 °) \u003d 5 m /s}

Esses dois componentes compõem a velocidade original.
Trajetórias básicas com as equações de aceleração constante

A chave para a maioria dos problemas envolvendo trajetórias é que o projétil para de se mover para frente quando atinge o chão. Se a bala é disparada a partir de 1 metro no ar, quando a aceleração devido à gravidade o desce 1 metro, ela não pode mais avançar. Isso significa que o componente y é a coisa mais importante a considerar.

A equação para o deslocamento do componente y é:

y \u003d v _{0y t - 0,5gt ²}

O índice "0" significa a velocidade inicial na direção (y), (t) significa tempo e (g) significa a aceleração devida à gravidade, que é de 9,8 m /s ^{2. Podemos simplificar isso se a bala for disparada perfeitamente na horizontal, para que não tenha velocidade na direção (y). Isso deixa:}

y \u003d -0,5gt ²

Nesta equação, (y) significa o deslocamento da posição inicial e queremos saber quanto tempo leva a bala Em outras palavras, queremos que

y \u003d −h \u003d -0.5gt ²

Para o qual você reorganiza:

t \u003d √2h ÷ g

Este é o horário do voo da bala. Sua velocidade de avanço determina a distância que ele percorre, e isso é dado por:

x \u003d v _{0x t}

Onde a velocidade é a velocidade em que ele deixa a arma. Isso ignora os efeitos do arrasto para simplificar a matemática. Usando a equação de (t) encontrada há um momento, a distância percorrida é:

x \u003d v _{0x√2h ÷ g}

Para uma bala que dispara a 400 m /s e é atingido a 1 metro de altura, isto fornece:

x_ _
\u003d 400 m /s √ [(2 × 1 m) ÷ 9,8 m /s ^2]

\u003d 400 m /s × 0,452 s \u003d 180,8 m

Portanto, a bala percorre cerca de 181 metros antes de atingir o solo.
Incorporando Drag

Para obter uma resposta mais realista, arraste nas equações acima. Isso complica um pouco as coisas, mas você pode calculá-las facilmente se encontrar as informações necessárias sobre sua bala e a temperatura e pressão em que está sendo disparada. A equação da força devida ao arrasto é:

F _{arraste \u003d −CρAv ^{2 ÷ 2}}

Aqui (C) representa o coeficiente de arrasto do marcador (você pode encontre uma bala específica ou use C \u003d 0,295 como uma figura geral), ρ é a densidade do ar (cerca de 1,2 kg /metro cúbico à pressão e temperatura normais), (A) é a área da seção transversal de uma bala ( você pode resolver isso para um marcador específico ou apenas usar A \u003d 4,8 × 10 ^{- 5 m 2, o valor para um calibre 0,308) e (v) é a velocidade do marcador. Finalmente, você usa a massa da bala para transformar essa força em uma aceleração a ser usada na equação, que pode ser tomada como m \u003d 0,016 kg, a menos que você tenha uma bala específica em mente.}

Isso dá mais expressão complicada para a distância percorrida na direção (x):

x \u003d v _{x 0t - C ρAv ^{2 t 2 ÷ 2m}}

Isso é complicado porque, tecnicamente, o arrasto reduz a velocidade, o que, por sua vez, reduz o arrasto, mas você pode simplificar as coisas apenas calculando o arrasto com base na velocidade inicial de 400 m /s. Usando um tempo de vôo de 0,452 s (como antes), isso fornece:

x_ _
\u003d 400 m /s × 0,452 s - [0,295 × 1,2 kg /m ^{3 × (4,8 × 10 −5 m 2) × 400 2 m 2 /s 2 × 0,452 2s 2] ÷ 2 × 0,016 kg}

\u003d 180,8 m - (0,555 kg m ÷ 0,032 kg)

\u003d 180,8 m - 17,3 m \u003d 163,5 m

Portanto, a adição de arrasto altera a estimativa em cerca de 17 metros .