Todo estudante de álgebra em níveis mais altos precisa aprender a resolver equações quadráticas. Estes são um tipo de equação polinomial que inclui uma potência de 2, mas nenhuma mais alta, e eles têm a forma geral: axe
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Você pode resolvê-los usando a fórmula da equação quadrática, fatorando ou completando o quadrado.</sup>

TL; DR (muito longo; não leu)

Primeiro procure por uma fatoração para resolver a equação. Se não houver um, mas o coeficiente b
é divisível por 2, complete o quadrado. Se nenhuma das abordagens for fácil, use a fórmula da equação quadrática.
Usando a fatoração para resolver a equação

A fatoração explora o fato de que o lado direito da equação quadrática padrão é igual a zero. Isso significa que, se você puder dividir a equação em dois termos entre colchetes multiplicados um pelo outro, poderá encontrar as soluções pensando no que tornaria cada colchete igual a zero. Para dar um exemplo concreto:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Compare isso com o formulário padrão:

axe

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

No exemplo, < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 e c
\u003d 9. O desafio de fatorar é encontrar dois números que se somam para dar o número em b
localize e multiplique para obter o número no lugar de c
.

Então, representando os números por d
e e
, você está procurando números que satisfaçam:

d
+ e
\u003d b

Ou, nesse caso, com b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

E

d
× e
\u003d c

Ou, nesse caso, com c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Concentre-se em encontrar números que são fatores de c
e adicione-os para ver se são iguais a b
. Quando você tiver seus números, coloque-os no seguinte formato:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

No exemplo acima, d
e e
são 3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Se você multiplicar os colchetes, você ' Terminarei com a expressão original novamente, e essa é uma boa prática para verificar sua fatoração. Você pode executar esse processo (multiplicando a primeira, a parte interna, a externa e a última parte dos colchetes, por sua vez - consulte Recursos para obter mais detalhes) para ver o contrário:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
x x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

A fatoração efetivamente percorre esse processo de maneira inversa, mas pode ser um desafio encontrar o caminho certo para fatorar a equação quadrática, e isso O método não é ideal para todas as equações quadráticas por esse motivo. Freqüentemente, você precisa adivinhar uma fatoração e depois verificá-la.

O problema agora está fazendo com que uma das expressões entre colchetes seja igual a zero na escolha do valor para x
. Se qualquer um dos colchetes for igual a zero, a equação inteira será igual a zero e você encontrou uma solução. Veja o último estágio [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] e você verá que a única vez que os colchetes saem para zero é se x
\u003d -3. Na maioria dos casos, porém, as equações quadráticas têm duas soluções.

A fatoração é ainda mais desafiadora se um
não for igual a um, mas o foco em casos simples é melhor a princípio.
Concluindo o quadrado para resolver a equação

Concluir o quadrado ajuda a resolver equações quadráticas que não podem ser facilmente fatoradas. Este método pode funcionar para qualquer equação quadrática, mas algumas equações são mais adequadas que outras. A abordagem envolve transformar a expressão em um quadrado perfeito e resolver isso. Um quadrado perfeito genérico se expande assim:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

Para resolver uma equação quadrática preenchendo o quadrado, coloque a expressão no formulário no lado direito acima. Primeiro divida o número na posição b
por 2 e, em seguida, quadrie o resultado. Assim, para a equação:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

O coeficiente b
\u003d 8, então b
÷ 2 \u003d 4 e ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Adicione aos dois lados para obter:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Observe que esse formulário corresponde à forma quadrada perfeita, com d
\u003d 4, então 2_d_ \u003d 8 e d
^{2 \u003d 16. Isso significa que:}

xi

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Insira isso na equação anterior para obter:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Agora resolva a equação para x
. Pegue a raiz quadrada de ambos os lados para obter:

x

+ 4 \u003d √16

Subtraia 4 de ambos os lados para obter:

x

\u003d √ (16) - 4

A raiz pode ser positiva ou negativa, e a obtenção da raiz negativa fornece:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Encontre a outra solução com a raiz positiva:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Portanto, a única solução diferente de zero é −8. Verifique isso com a expressão original para confirmar.
Usando a fórmula quadrática para resolver a equação

A fórmula da equação quadrática parece mais complicada do que os outros métodos, mas é o método mais confiável e você pode usá-lo A equação usa os símbolos da equação quadrática padrão:

axe

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

E afirma que:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Insira os números apropriados em seus locais e trabalhe com a fórmula a ser resolvida, lembrando-se de tentar subtrair e adicionar o termo da raiz quadrada e observe as duas respostas. Para o seguinte exemplo:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Você tem a
\u003d 1, b
\u003d 6 e c
\u003d 5. Portanto, a fórmula fornece:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4)
2

Tomando o sinal positivo, obtém:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

E tomando o sinal negativo, obtém:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Quais são as duas soluções para a equação.
Como determinar o melhor método resolver equações quadráticas

Procure uma fatoração antes de tentar qualquer outra coisa. Se você conseguir identificar uma, esta é a maneira mais rápida e fácil de resolver uma equação quadrática. Lembre-se de que você está procurando dois números que somam ao coeficiente b
e multiplicam-se para fornecer o coeficiente c
. Para esta equação:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Você pode identificar que 2 + 3 \u003d 5 e 2 × 3 \u003d 6, então:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

E x
\u003d −2 ou x
\u003d −3.

Se você não pode ver uma fatoração, verifique se o coeficiente b
é divisível por 2 sem recorrer a frações. Se estiver, preencher o quadrado é provavelmente a maneira mais fácil de resolver a equação.

Se nenhuma das abordagens parecer adequada, use a fórmula. Essa parece ser a abordagem mais difícil, mas se você estiver em um exame ou for pressionado pelo tempo, pode tornar o processo muito menos estressante e muito mais rápido.