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    Como integrar funções de raiz quadrada

    A integração de funções é uma das principais aplicações do cálculo. Às vezes, isso é direto, como em:

    F (x) \u003d ∫ (x 3 + 8) dx

    Em um exemplo comparativamente complicado desse tipo, você pode usar um versão da fórmula básica para integrar integrais indefinidas:

    ∫ (x n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,

    onde A e C são constantes.

    Assim, para este exemplo,

    ∫ x 3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
    Integração de funções básicas de raiz quadrada

    Na superfície, a integração de uma função de raiz quadrada é estranha. Por exemplo, você pode ser frustrado por:

    F (x) \u003d ∫ √ [(x 3) + 2x - 7] dx

    Mas você pode expressar uma raiz quadrada como um expoente, 1/2:

    √ x 3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)

    A integral torna-se :

    ∫ (x 3/2 + 2x - 7) dx

    ao qual você pode aplicar a fórmula usual acima:

    \u003d x (5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x

    \u003d (2/5) x (5/2) + x 2 - 7x
    Integração de funções de raiz quadrada mais complexa

    Às vezes, você pode ter mais de um termo sob o sinal radical, como neste exemplo:

    F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

    Você pode usar a substituição-u para prosseguir. Aqui, você define u igual à quantidade no denominador:

    u \u003d √ (x - 3)

    Resolva isso para x ao quadrado dos dois lados e subtraindo:

    u 2 \u003d x - 3

    x \u003d u 2 + 3

    Isso permite que você obtenha dx em termos de u tomando a derivada de x:

    dx \u003d (2u) do

    Substituir de volta à integral original fornece

    F (x) \u003d ∫ (u 2 + 3 + 1) /udu

    \u003d ∫ [(2u 3 + 6u + 2u) /u] do

    \u003d ∫ (2u 2 + 8) do

    Agora você pode integrar isso usando a fórmula básica e expressando u em termos de x:

    ∫ (2u 2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C

    \u003d (2/3) [√ (x - 3)] 3 + 8 [√ (x - 3)] + C

    \u003d (2/3) (x - 3) (3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C

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