O Wronskian é um determinante formulado pelo matemático e filósofo polonês J &# xF3; zef Maria Ho ë ne-Wro &x144; ski. Ele é usado para descobrir se duas ou mais funções são linearmente independentes. Funções que são linearmente dependentes são múltiplos de cada uma, enquanto linearmente independentes não são. Se o Wronskian é zero em todos os pontos, o que significa que ele desaparece em todos os lugares, então as funções são linearmente dependentes. Em termos matemáticos, para duas funções f e g, isso significa que W (f, g) = 0. Se o Wronskian for zero apenas em certos pontos, a dependência linear não foi comprovada. Para calcular o Wronskian, você precisa saber como usar determinantes e como encontrar as derivadas de funções.
Use a fórmula de Wronskian para duas funções, como mostrado à esquerda. O determinante é calculado usando a fórmula W (f, g) = fg '- gf'. Se isso é igual a zero em todos os valores, as funções f e g são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente dependentes.
Resolva o Wronskian para duas funções. Como exemplo, para e ^ xe e ^ 2x, o determinante é como mostrado à esquerda. A derivada para e ^ x é e ^ x, e a derivada para e ^ 2x é 2e ^ 2x. O Wronskian é e ^ x * 2e ^ 2x - e ^ 2x * e ^ x.
Simplifique a expressão no passo dois. Isso é igual a 2e ^ 3x - e ^ 3x. Então W (e ^ x, e ^ 2x) = e ^ 3x. Como isso nunca é zero para qualquer valor de x, as duas funções são linearmente independentes.
Use o Wronskian para três funções. O determinante para as funções f, g eh é W (f, g, h) = f (g'h '' - h'g '') - g (f 'h' '- h'f' ' ) + h (f 'g' '- g'f' ').
Resolva o Wronskian para três funções. Como exemplo, para 1, x e x ^ 2, o determinante é como mostrado à esquerda. A primeira derivada para 1 é 0, para x é 1 e para x ^ 2 é 2x. As segundas derivadas, respectivamente, são 0, 0, 2.
Conecte os valores da primeira e segunda derivações encontradas na etapa dois no determinante. O Wronskian é 1 * (1 * 2 - 0) - 0 + 0. Assim, W (1, x, x ^ 2) = 2. Como isso nunca é 0, as três funções são linearmente independentes.
