Equações de movimento de Lagrange As equações de movimento de Lagrange são um conjunto de equações diferenciais de segunda ordem que descrevem o movimento de um sistema de partículas. Eles são derivados do princípio da menor ação, que afirma que o caminho real percorrido por um sistema entre dois pontos é aquele que minimiza a integral da ação.
A integral de ação é definida como a integral do Lagrangiano ao longo do tempo:
$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \ponto{q_i}, t) dt$$
onde $q_i$ são as coordenadas generalizadas do sistema, $\dot{q_i}$ são suas derivadas temporais e $L$ é o Lagrangiano. O Lagrangiano é uma função das coordenadas generalizadas, suas derivadas temporais e o tempo.
O princípio da menor ação afirma que o caminho real percorrido por um sistema entre dois pontos é aquele que minimiza a integral da ação. Isso pode ser expresso matematicamente como:
$$\delta S =0$$
onde $\delta S$ é a variação da integral de ação.
As equações de movimento de Lagrange podem ser derivadas do princípio da menor ação usando o cálculo de variações. O cálculo de variações é um ramo da matemática que trata de encontrar funções que minimizem ou maximizem um funcional.
Para encontrar as funções que minimizam a integral de ação, precisamos encontrar as variações da integral de ação e defini-las iguais a zero. As variações da integral de ação são dadas por:
$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$
onde $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ e $\delta t$ são as variações das coordenadas generalizadas, suas derivadas de tempo e tempo.
Igualando as variações da integral de ação a zero, obtemos:
$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$
Estas são as equações de movimento de Lagrange. Elas são um conjunto de equações diferenciais de segunda ordem que descrevem o movimento de um sistema de partículas.
Exemplo: Considere uma partícula de massa $m$ movendo-se em um potencial unidimensional $V(x)$. O Lagrangiano para este sistema é:
$$L =\frac{1}{2} m \ponto{x}^2 - V(x)$$
A coordenada generalizada para este sistema é $x$, e sua derivada temporal é $\dot{x}$. O Lagrangiano é uma função de $x$, $\dot{x}$ e $t$.
A equação de movimento de Lagrange para este sistema é:
$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$
Substituindo o Lagrangiano nesta equação, obtemos:
$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$
Esta é a segunda lei do movimento de Newton para uma partícula de massa $m$ movendo-se em um potencial unidimensional $V(x)$.
