Para aqueles de nós que não têm inclinação para a matemática, a noção de números imaginários é um pouco intrigante. O que diabos isso significa? Esses números são inventados? Eles são invisíveis como amigos imaginários? Envie ajuda matemática!


Conteúdo

1. O que é um número imaginário?
2. Calculando com números complexos e imaginários
3. Números imaginários são pontos em um plano

O que é um número imaginário?

Um número imaginário – basicamente, um número que, quando elevado ao quadrado, resulta em um número negativo – foi estabelecido pela primeira vez nos anos 1400 e 1500 como uma forma de resolver certas equações atormentadoras.

Embora inicialmente considerados uma espécie de truque de salão, nos séculos seguintes, os números imaginários passaram a ser vistos como uma ferramenta para conceituar o mundo de maneiras complexas e hoje são úteis em campos que vão da engenharia elétrica à mecânica quântica.



“Inventamos os números imaginários pelas mesmas razões pelas quais inventamos os números negativos”, explica Cristopher Moore. Ele é físico do Santa Fe Institute, uma instituição de pesquisa independente no Novo México, e co-autor, com Stephan Mertens, do livro de 2011 "The Nature of Computation".

“Comece com a aritmética comum”, continua Moore. "Quanto é dois menos sete? Se você nunca ouviu falar de números negativos, isso não faz sentido. Não há resposta. Você não pode ter menos cinco maçãs, certo? Mas pense desta forma. Você poderia me dever cinco maçãs, ou cinco dólares. Quando as pessoas começaram a fazer contabilidade e escrituração contábil, precisávamos desse conceito."

Da mesma forma, hoje estamos todos familiarizados com a ideia de que se emitirmos cheques elevados para pagar as coisas, mas não tivermos dinheiro suficiente para cobri-las, poderemos ter um saldo negativo nas nossas contas bancárias.

Calculando com números complexos e imaginários

Outra maneira de observar números negativos – e isso será útil mais tarde – é pensar em caminhar por um bairro da cidade, diz Moore.

Se você fizer uma curva errada e seguir na direção oposta ao nosso destino – digamos, cinco quarteirões ao sul, quando deveria ter ido para o norte – você poderia pensar nisso como caminhar cinco quarteirões negativos para o norte.



“Ao inventar números negativos, expande o seu universo matemático e permite-lhe falar sobre coisas que antes eram difíceis”, diz Moore.

Os números imaginários e os números complexos – isto é, números que incluem um componente imaginário – são outro exemplo deste tipo de pensamento criativo. Como Moore explica:"Se eu lhe perguntar qual é a raiz quadrada de nove, isso é fácil, certo? A resposta é três - embora também possa ser menos três", já que multiplicar dois negativos resulta em um positivo.

Mas qual é a raiz quadrada de menos um? Existe um número, quando multiplicado por ele mesmo, que resulta em menos um? “Em certo nível, esse número não existe”, diz Moore.

Mas os matemáticos da Renascença encontraram uma maneira inteligente de contornar esse problema. “Antes de inventarmos os números negativos, não existia um número dois menos sete”, continua Moore. "Então talvez devêssemos inventar um número que seja raiz quadrada de menos um. Vamos dar um nome a ele. i ."

Assim que criaram o conceito de número imaginário, os matemáticos descobriram que poderiam fazer coisas muito legais com ele. Lembre-se de que multiplicar um número positivo por um negativo é igual a um negativo, mas multiplicar dois negativos um pelo outro é igual a um positivo.

Mas o que acontece quando você começa a multiplicar i vezes sete e depois vezes i de novo? Porque eu vezes eu é menos um, a resposta é menos sete. Mas se você multiplicar sete vezes i vezes eu vezes eu vezes eu , de repente você obtém sete positivo. “Eles se cancelam”, observa Moore.

Agora pense sobre isso. Você pegou um número imaginário, inseriu-o em uma equação várias vezes e acabou com um número real que normalmente usa no mundo real.

Números imaginários são pontos em um plano

Só algumas centenas de anos depois, no início de 1800, é que os matemáticos descobriram outra forma de compreender os números imaginários:pensando neles como pontos num plano, explica Mark Levi. Ele é professor e chefe do departamento de matemática da Penn State University e autor do livro de 2012 "Por que os gatos pousam em pé:e 76 outros paradoxos e quebra-cabeças físicos".

Quando pensamos nos números como pontos numa reta e depois adicionamos uma segunda dimensão, “os pontos nesse plano são os números imaginários”, diz ele.



Visualize uma reta numérica. Quando você pensa em um número negativo, ele está a 180 graus dos números positivos na reta. “Quando você multiplica dois números negativos, soma seus ângulos, 180 graus mais 180 graus, e obtém 360 graus. É por isso que é positivo”, explica Levi.

Mas você não pode colocar a raiz quadrada de menos um em qualquer lugar do eixo X. Simplesmente não funciona. No entanto, se você criar um eixo Y perpendicular ao X, agora terá um lugar para colocá-lo.

E embora os números imaginários pareçam apenas um monte de confusão matemática, eles são na verdade muito úteis para certos cálculos importantes no mundo tecnológico moderno, como calcular o fluxo de ar sobre a asa de um avião ou descobrir o dreno de energia da resistência combinada com a oscilação em um sistema elétrico.

Números complexos com componentes imaginários também são úteis na física teórica, explica Rolando Somma, físico que trabalha com algoritmos de computação quântica no Laboratório Nacional de Los Alamos.

“Pela sua relação com funções trigonométricas, são úteis para descrever, por exemplo, funções periódicas”, afirma Somma por e-mail. "Eles surgem como soluções para as equações de onda, por isso usamos números complexos para descrever várias ondas, como uma onda eletromagnética. Assim, como na matemática, o cálculo complexo na física é uma ferramenta extremamente útil para simplificar cálculos."

Os números complexos também desempenham um papel na mecânica quântica, uma teoria que descreve o comportamento da natureza na escala dos átomos e das partículas subatômicas.

“Na mecânica quântica i aparece explicitamente na equação de Schrödinger”, explica Somma. "Assim, os números complexos parecem ter um papel mais fundamental na mecânica quântica, em vez de apenas servirem como uma ferramenta de cálculo útil."

“O estado de um sistema quântico é descrito pela sua função de onda”, continua ele. "Como solução para a equação de Schrodinger, esta função de onda é uma superposição de certos estados, e os números que aparecem na superposição são complexos. Os fenômenos de interferência na física quântica, por exemplo, podem ser facilmente descritos usando números complexos."
Agora isso é interessante
Números imaginários também são mencionados no best-seller de Dan Brown, “O Código Da Vinci”, de 2003, e no romance de 2012, “Contra o Dia”, de Thomas Pynchon.

Este artigo foi atualizado em conjunto com a tecnologia de IA, depois verificado e editado por um editor do HowStuffWorks.

Perguntas frequentes

O que são números imaginários?

Números imaginários são números que, quando elevados ao quadrado, resultam em um número negativo. O conceito foi criado pela primeira vez nos anos 1400 e 1500 para resolver equações complexas.

O que é um número complexo?

Um número complexo é um número que inclui uma parte real e uma parte imaginária. É representado como uma combinação de um número real e um número imaginário (bi).

Você pode explicar o plano complexo?

O plano complexo é um plano bidimensional onde os números complexos são representados graficamente. O eixo horizontal representa a parte real, e o eixo vertical, muitas vezes chamado de eixo imaginário, representa a parte imaginária.

Como encontrar raízes quadradas de números negativos?

As raízes quadradas dos números negativos envolvem o uso da unidade imaginária 'i'. Por exemplo, a raiz quadrada de -1 é i e a raiz quadrada de -9 é 3i.

Os números imaginários podem ser usados ​​para resolver equações quadráticas?

Sim, os números imaginários podem ser cruciais para encontrar as raízes de equações quadráticas que não têm soluções reais.

Como os números imaginários e reais interagem no sistema numérico?

Os números imaginários e reais coexistem dentro do conceito mais amplo de números complexos. Eles podem interagir por meio de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.