Os círculos estão em toda parte no mundo real, razão pela qual seus raios, diâmetros e circunferência são significativos em aplicações da vida real. Mas há outras partes dos círculos - setores e ângulos, por exemplo - que também têm importância nas aplicações cotidianas. Exemplos incluem tamanhos setoriais de alimentos circulares como bolos e tortas, o ângulo percorrido em uma roda-gigante, o dimensionamento de um pneu para um veículo em particular e especialmente o dimensionamento de um anel para um compromisso ou casamento. Por essas e outras razões, a geometria também tem equações e cálculos de problemas que lidam com ângulos centrais, arcos e setores de um círculo.

O que é o ângulo central?

O ângulo central é definido como o ângulo central. ângulo criado por dois raios ou raios irradiando do centro de um círculo, com o centro do círculo sendo o vértice do ângulo central. Ângulos centrais são particularmente relevantes quando se trata de dividir pizza, ou qualquer outro alimento circular, entre um número definido de pessoas. Digamos que há cinco pessoas em um sarau onde uma pizza grande e um bolo grande devem ser compartilhados. Qual é o ângulo em que tanto a pizza quanto o bolo devem ser divididos para garantir uma fatia igual para todos? Como há 360 graus em um círculo, o cálculo se torna 360 graus dividido por 5 para chegar a 72 graus, de modo que cada fatia, seja da pizza ou do bolo, terá um ângulo central ou teta (θ), medindo 72 graus

Determinando o ângulo central a partir do comprimento do arco

Um arco do círculo refere-se a uma "porção" da circunferência do círculo. O comprimento do arco, portanto, é o comprimento dessa “porção”. Se você imaginar uma fatia de pizza, a área do setor pode ser visualizada como a fatia inteira de pizza, mas o comprimento do arco é o comprimento da borda externa da crosta. fatia. A partir do comprimento do arco, o ângulo central pode ser calculado. De fato, uma fórmula que pode ajudar na determinação do ângulo central afirma que o (s) comprimento (s) do arco é igual ao raio vezes o ângulo central, ou s = r × θ, onde o ângulo, teta, deve ser medido em radianos. Então, para resolver o ângulo central, theta, basta dividir o comprimento do arco pelo raio, ou s ÷ r = θ. Para ilustrar, se o comprimento do arco for 5,9 e o raio for 3,5329, então o ângulo central se tornará 1,67 radianos. Outro exemplo é se o comprimento do arco é 2 e o raio é 2, o ângulo central se torna 1 radiano. Se você quiser converter radianos em graus, lembre-se de que 1 radiano é igual a 180 graus dividido por π, ou 57.2958 graus. Por outro lado, se uma equação pede para converter graus de volta em radianos, primeiro multiplique por π e, em seguida, divida em 180 graus.

Determinando o ângulo central da área setorial

Outra fórmula útil para determinar ângulo central é fornecido pela área do setor, que novamente pode ser visualizada como uma fatia de pizza. Essa fórmula específica pode ser vista de duas maneiras. O primeiro tem o ângulo central medido em graus para que a área do setor seja igual a π vezes o raio-quadrado e depois multiplicado pela quantidade do ângulo central em graus divididos por 360 graus. Em outras palavras:

(πr ^{2) × (ângulo central em graus ÷ 360 graus) = área do setor.}

Se o ângulo central é medido em radianos, a fórmula se torna :

área do setor = r ^{2 × (ângulo central em radianos ÷ 2).}

O rearranjo das fórmulas ajudará a resolver o valor do ângulo central, ou theta. Considere uma área setorial de 52,3 centímetros quadrados com um raio de 10 centímetros. Qual seria seu ângulo central em graus? Os cálculos começariam com uma área setorial de 52,3 centímetros quadrados sendo igual a:

(θ ÷ 360 graus) × πr ^2.

Como o raio (r) é igual a 10, a equação inteira pode ser escrita como:

(52.3 ÷ 100π) × 360

para que theta possa ser escrito como:

(52.3 ÷ 314) × 360.

Assim, a resposta final torna-se um ângulo central de 60 graus.