Exemplos de simples, singular, Legendrian, e nós singulares de Legendrian. Embora os nós com os quais estamos familiarizados tenham pontas soltas, nós matemáticos são formados com loops fechados, como elásticos. A) Nós simples:o primeiro e o último nós podem ser derivados um do outro sem quebrar a corda, então eles são matematicamente equivalentes. B) Nós singulares:os cruzamentos opostos (um formado pela corda direita passando por cima da corda esquerda e o outro inverso) são chamados de pontos singulares (estrela). C) Nós legendrianos:objetos puramente matemáticos com seus vetores tangentes contidos nos planos de contato (mostrados em vermelho, rosa e azul) são definidos pela geometria simplética (contato). D) Nós singulares de Legendrian (LSK):o foco deste estudo IBS tem planos de contato e pontos singulares. Crédito:Institute for Basic Science
De gravatas-borboleta e cadarços a barcos à vela e cordas de escalada, os nós não são apenas muito úteis para nossas vidas diárias, mas para a matemática também. Pesquisadores IBS do Centro de Geometria e Física, dentro do Institute for Basic Science (IBS) relatou uma nova operação matemática para catalogar um tipo especial de nós matemáticos, conhecido como nós singulares de Legendrian. Seu estudo, aceito pelo Journal of Symplectic Geometry, lida com nós que vão muito além do irritante emaranhado dos fios dos fones de ouvido.
Por que se preocupar com nós?
Fazer nós perfeitos nas gravatas e nos sapatos rápidos são boas habilidades para se ter, mas por que os matemáticos estão tão interessados nos nós? Acontece que além de ser uma curiosidade matemática intrigante, os nós também estão na raiz da compreensão do nosso universo. Interessantemente, classificar nós é crucial para estudar espaços 3-D complexos, como nosso universo.
"Ninguém circunavegou o universo, como Magalhães fez na Terra, portanto, não sabemos sua forma. Viagens espaciais à parte, matemáticos estão investigando nós para fornecer uma lista provisória de todas as formas possíveis do universo, "explica KIM Seonhwa, um dos autores do estudo.
Seu colega HEE An Byung acrescenta:"Pode haver um número infinito de espaços 3-D possíveis. No momento, a forma de algumas manchas de nosso universo são esclarecidas, mas sentimos falta da estrutura geral, é aí que a teoria do nó pode nos ajudar. "
O desafio de classificar nós
Por décadas, os matemáticos têm procurado provas rigorosas para distinguir e classificar os nós. Na matemática, nós com aparência diferente são na verdade equivalentes se eles puderem ser derivados um do outro sem ter que cortar a corda. Várias regras para diferenciar nós estão disponíveis, mas para este estudo, Os matemáticos do IBS se concentraram em um tipo especial de nós, chamados de nós singulares de Legendrian (LSKs), que são muito mais difíceis de classificar. LSKs pertencem a um ramo da matemática conhecido como geometria simplética, que é um dos campos mais importantes da matemática e da física modernas.
A equipe de pesquisa idealizou uma nova operação, chamada de 'soma conectada singular', para investigar e distinguir LSKs. Como regras aplicáveis para classificar outros tipos de nós, ou seja, nós de Legendrian e nós singulares, não funcionam com LSKs, este estudo representa um importante passo em frente na teoria do nó.
"Parecia que havia um grande número de situações possíveis, tornando os LSKs muito difíceis de classificar. Graças a esta nova operação e suas propriedades, demonstramos que o número de possibilidades não é tão horrível quanto parecia. Além disso, fizemos um exemplo que mostra que LSKs são mais do que a combinação de nós Legendrianos e nós singulares, "aponta BAE Youngjin, outro matemático envolvido no estudo.
O estudo é resultado de uma colaboração entre três pesquisadores envolvidos em diferentes áreas da matemática. Isso se encaixa no espírito do Centro de Geometria e Física, o que incentiva a fusão de diferentes linhas de pesquisa. Uma análise mais profunda da operação de soma única conectada já está em andamento. Tem como objetivo explorar objetos ainda mais elaborados da geometria simplética; os gráficos espaciais de Legendrian, e espero que nos ajude a entender as possibilidades fascinantes dos espaços 3-D, incluindo nosso universo.
