Veja como determinar o deslocamento de um objeto em movimento harmônico simples (SHM) quando suas energias cinéticas e potenciais são iguais:

Entendendo os conceitos

* Movimento harmônico simples (SHM): Um tipo de movimento periódico em que a força de restauração é proporcional ao deslocamento do equilíbrio. Exemplos incluem uma massa em uma primavera ou um pêndulo.
* Energia cinética (KE): A energia do movimento, calculada como ke =(1/2) mv², onde m é massa e v é a velocidade.
* energia potencial (PE): Energia armazenada devido à posição ou configuração de um objeto. No SHM, a energia potencial é geralmente associada à força de restauração (por exemplo, a energia potencial da mola).

Derivação

1. Energia total: A energia mecânica total (e) em SHM é constante e é a soma da energia cinética e potencial:
E =ke + pe

2. energias iguais: Quando ke =pe, podemos reescrever a equação de energia total como:
E =2ke =2PE

3. expressando KE e PE em termos de deslocamento:
* Ke =(1/2) mv²
* PE =(1/2) kx², onde k é a constante de mola (ou uma constante de força de restauração semelhante) e x é o deslocamento do equilíbrio.

4. equivalente às energias:
2 [(1/2) mv²] =2 [(1/2) kx²]
mv² =kx²

5. velocidade em shm: A velocidade (v) de um objeto em SHM pode ser expressa como:
v =ω√ (a² - x²) onde ω é a frequência angular e a é a amplitude da oscilação.

6. Substituindo e resolvendo: Substitua a expressão de velocidade na equação de energia:
m [ω√ (a² - x²)] ² =kx²
mω² (a² - x²) =kx²

7. Simplificando: Reorganize a equação para resolver para x:
Mω²A² =(Mω² + K) x²
x² =(Mω²A²) / (Mω² + K)

8. usando a relação entre ω e k: Lembre -se de que ω² =k/m. Substituindo isso na equação:
x² =(Mω²A²) / (Mω² + Mω²)
x² =(Mω²A²) / (2mΩ²)
x² =a²/2

9. deslocamento: Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
x =a/√2

Conclusão

Quando as energias cinéticas e potenciais de um objeto em movimento harmônico simples são iguais, o deslocamento (x) é igual à amplitude (a) dividida pela raiz quadrada de 2. Isso significa que o objeto está em uma posição aproximadamente 70,7% do caminho de sua posição de equilíbrio até sua amplitude máxima.