Teorema Trabalho-Energia O teorema do trabalho-energia afirma que o trabalho líquido realizado sobre um objeto é igual à variação na energia cinética do objeto.
$$W_{rede}=\Delta K$$
Onde:
- \(W_{net}\) é o trabalho líquido realizado no objeto (em joules)
- \(\Delta K\) é a mudança na energia cinética do objeto (em joules)
O teorema do trabalho-energia pode ser usado para resolver uma variedade de problemas envolvendo o movimento de objetos. Por exemplo, pode ser usado para determinar a velocidade de um objeto após ter sido influenciado por uma força ou para encontrar a distância que um objeto percorrerá antes de parar.
Prova do Teorema Trabalho-Energia O teorema da energia de trabalho pode ser provado usando as seguintes etapas:
1. Considere um objeto de massa \(m\) movendo-se com velocidade \(\overrightarrow{v_i}\). A energia cinética do objeto é dada por:
$$K_i=\frac{1}{2}mv_i^2$$
2. Uma força resultante \(\overrightarrow{F}_{net}\) é aplicada ao objeto, fazendo com que ele acelere e mude sua velocidade para \(\overrightarrow{v_f}\). O trabalho realizado pela força resultante sobre o objeto é dado por:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}$$
Onde \(\overrightarrow{d}\) é o deslocamento do objeto.
3. A variação da energia cinética do objeto é dada por:
$$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$
4. Podemos substituir a expressão do trabalho realizado pela força resultante na expressão da variação da energia cinética para obter:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^ 2$$
5. Esta equação mostra que o trabalho resultante realizado sobre o objeto é igual à variação na energia cinética do objeto, o que prova o teorema do trabalho-energia.
Exemplos do Teorema Trabalho-Energia O teorema do trabalho-energia pode ser usado para resolver uma variedade de problemas envolvendo o movimento de objetos. Aqui estão alguns exemplos:
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Exemplo 1: Um objeto de 10 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal. Uma força de 50 N é aplicada ao objeto por 5 segundos. Qual é a velocidade do objeto após 5 segundos?
Solução: O trabalho líquido realizado no objeto é:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=(50\text{ N})(5\text{ m})=250\text{ J}$$
A mudança na energia cinética do objeto é:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2- 0$$
Igualando o trabalho líquido à variação da energia cinética, obtemos:
$$250\text{ J}=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2$$
Resolvendo para \(v_f\), obtemos:
$$v_f=\sqrt{\frac{2(250\text{ J})}{10\text{ kg}}}=7,07\text{ m/s}$$
Portanto, a velocidade do objeto após 5 segundos é de 7,07 m/s.
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Exemplo 2: Um objeto de 20 kg se move com velocidade de 10 m/s. Qual é o trabalho necessário para parar o objeto?
Solução: A mudança na energia cinética do objeto é:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(20\text{ kg})(0)^ 2-\frac{1}{2}(20\text{ kg})(10\text{ m/s})^2=-1000\text{ J}$$
O sinal negativo indica que o trabalho necessário para parar o objeto é negativo, o que significa que o trabalho deve ser realizado pelo objeto.
Portanto, o trabalho necessário para parar o objeto é de 1000 J.
