As equações de valor absoluto podem ser um pouco intimidadoras no início, mas se você continuar, logo estará solucionando-as facilmente. Quando você está tentando resolver equações de valor absoluto, isso ajuda a manter o significado do valor absoluto em mente.

Definição do Valor Absoluto

O valor absoluto de um número x
, escrito |   x
| é sua distância de zero em uma reta numérica. Por exemplo, −3 é 3 unidades longe de zero, então o valor absoluto de −3 é 3. Escrevemos assim: |  −3 |  = 3.

Outra maneira de pensar sobre isso é que o valor absoluto é a "versão" positiva de um número. Portanto, o valor absoluto de −3 é 3, enquanto o valor absoluto de 9, que já é positivo, é 9.

Algebricamente, podemos escrever uma fórmula para valor absoluto que se parece com isso:

|   x
|  = x
, se x
≥ 0,

= - x
, se x
≤ 0.

Tome um exemplo onde x
= 3. Como 3 ≥ 0, o valor absoluto de 3 é 3 (em notação de valor absoluto, isso é: |  3 |  = 3).

Agora e se x
= −3? É menor que zero, então |  −3 |  = - (−3). O oposto, ou "negativo", de −3 é 3, portanto |  −3 |  = 3.

Resolvendo Equações de Valor Absoluto

Agora para algumas equações de valor absoluto. Os passos gerais para resolver uma equação de valor absoluto são:

Isole a expressão de valor absoluto.

Resolva a "versão" positiva da equação.

Resolva a versão "negativa" "da equação multiplicando a quantidade do outro lado do sinal de igual por -1.

Veja o problema abaixo para um exemplo concreto das etapas.

Exemplo: Resolva a equação para x
: |  3 + x
|  - 5 = 4.

Isolar a expressão de valor absoluto

Você precisa obter |  3 + x
|  por si só no lado esquerdo do sinal de igual. Para fazer isso, adicione 5 a ambos os lados:

|  3 + x
|  - 5 (+ 5) = 4 (+ 5)

|  3 + x
|  = 9.

Resolva a "versão" positiva da equação

Resolva para x
como se o sinal de valor absoluto não estivesse lá!

|  3 + x
|  = 9 → 3 + x
= 9

É fácil: basta subtrair 3 de ambos os lados.

3 + x
(−3) = 9 (−3)

x
= 6

Portanto, uma solução para a equação é que x
= 6.

Resolva a "versão" negativa da equação

Comece novamente em |  3 + x
|  = 9. A álgebra na etapa anterior mostrou que x
poderia ser 6. Mas como essa é uma equação de valor absoluto, existe outra possibilidade a ser considerada. Na equação acima, o valor absoluto de "alguma coisa" (3 + x
) é igual a 9. Claro, o valor absoluto de 9 positivo é igual a 9, mas há outra opção aqui também! O valor absoluto de −9 também é igual a 9. Assim, o "algo" desconhecido também poderia ser igual a −9.

Em outras palavras: 3 + x || = −9.

A maneira rápida de chegar a esta segunda versão é multiplicar a quantidade do outro lado da equação da expressão do valor absoluto (9, neste caso) por −1, depois resolver a equação a partir daí.

Então: |  3 + x
|  = 9 → 3 + x
= 9 × (−1)

3 + x
= −9

Subtraia 3 de ambos os lados para obter :

3 + x
(−3) = −9 (−3)

x
= −12

Então as duas soluções são: x
= 6 ou x
= −12.

E aí está você! Esses tipos de equações exigem prática, então não se preocupe se você estiver com dificuldades no começo. Continue assim e ficará mais fácil!