Em uma sequência geométrica, cada termo é igual ao termo anterior vezes um multiplicador constante, diferente de zero, chamado de fator comum. Sequências geométricas podem ter um número fixo de termos ou podem ser infinitas. Em ambos os casos, os termos de uma sequência geométrica podem rapidamente tornar-se muito grandes, muito negativos ou muito próximos de zero. Comparado com seqüências aritméticas, os termos mudam muito mais rapidamente, mas enquanto seqüências aritméticas infinitas aumentam ou diminuem constantemente, seqüências geométricas podem se aproximar de zero, dependendo do fator comum.

TL; Leitura)

Uma seqüência geométrica é uma lista ordenada de números em que cada termo é o produto do termo anterior e um multiplicador fixo, diferente de zero, chamado de fator comum. Cada termo de uma sequência geométrica é a média geométrica dos termos precedentes e posteriores. Seqüências geométricas infinitas com um fator comum entre +1 e -1 se aproximam do limite de zero à medida que termos são adicionados enquanto sequências com um fator comum maior que +1 ou menor que -1 vão para mais ou menos infinito.

Como funcionam seqüências geométricas

Uma seqüência geométrica é definida pelo seu número inicial a, o fator comum re o número de termos S. A forma geral correspondente de uma seqüência geométrica é:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

A fórmula geral para o termo n de uma sequência geométrica (ou seja, qualquer termo dentro dessa sequência) é:
a _{n = ar ^n-1.}

A fórmula recursiva, que define um termo com relação ao termo anterior, é:
a _{n = ra n-1}

Um exemplo de uma seqüência geométrica com número de partida 3, fator comum 2 e oito termos é 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calculando o último termo usando o forma geral listada acima, o termo é:

a _{8 = 3 × 2 ^{8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.}}

Usando a fórmula geral para o termo 4:

a _{4 = 3 × 2 ^{4-1 = 3 × 2 3 = 24.}}

Se você deseja usar a fórmula recursiva para o termo 5 e, em seguida, o termo 4 = 24 e um _{5 é igual a:}

a _{5 = 2 × 24 = 48.}

Geometric Propriedades de Sequência

Sequências geométricas têm propriedades especiais no que diz respeito à média geométrica. A média geométrica de dois números é a raiz quadrada de seu produto. Por exemplo, a média geométrica de 5 e 20 é 10 porque o produto 5 × 20 = 100 e a raiz quadrada de 100 é 10.

Em seqüências geométricas, cada termo é a média geométrica do termo antes dele e o termo depois disso. Por exemplo, na seqüência 3, 6, 12 ... acima, 6 é a média geométrica de 3 e 12, 12 é a média geométrica de 6 e 24 e 24 é a média geométrica de 12 e 48.

Outras propriedades das seqüências geométricas dependem do fator comum. Se o fator comum r for maior que 1, seqüências geométricas infinitas se aproximarão do infinito positivo. Se r estiver entre 0 e 1, as seqüências se aproximarão de zero. Se r estiver entre zero e -1, as seqüências se aproximarão de zero, mas os termos alternarão entre valores positivos e negativos. Se r for menor que -1, os termos tenderão para o infinito positivo e negativo à medida que alternam entre valores positivos e negativos.

Sequências geométricas e suas propriedades são especialmente úteis em modelos científicos e matemáticos de processos do mundo real . O uso de sequências específicas pode ajudar no estudo de populações que crescem a uma taxa fixa em determinados períodos de tempo ou investimentos que geram juros. As fórmulas gerais e recursivas tornam possível prever valores precisos no futuro com base no ponto de partida e no fator comum.