Se você gosta de esquisitices de matemática, vai adorar o triângulo de Pascal. Nomeado em homenagem ao matemático francês do século 17 Blaise Pascal, e conhecido pelos chineses por muitos séculos antes de Pascal como o triângulo de Yanghui, é na verdade mais do que uma esquisitice. É um arranjo específico de números que é incrivelmente útil em álgebra e teoria da probabilidade. Algumas de suas características são mais desconcertantes e interessantes do que úteis. Eles ajudam a ilustrar a misteriosa harmonia do mundo, conforme descrito por números e matemática.

TL; DR (muito longo; não lidos)

Pascal derivou o triângulo expandindo (x + y) ^ n para aumentar valores de n e arranjar os coeficientes dos termos num padrão triangular. Tem muitas propriedades interessantes e úteis.

Construindo o triângulo de Pascal

A regra para construir o triângulo de Pascal não poderia ser mais fácil. Comece com o número um no ápice e forme a segunda linha abaixo dele com um par de unidades. Para construir a terceira e todas as linhas subsequentes, comece colocando uma no início e no final. Derive cada dígito entre esses dois, adicionando os dois dígitos imediatamente acima. A terceira linha é assim 1, 2, 1, a quarta linha é 1, 3, 3, 1, a quinta linha é 1, 4, 6, 4, 1 e assim por diante. Se cada dígito ocupa uma caixa que é do mesmo tamanho que todas as outras caixas, o arranjo forma um triângulo equilátero perfeito delimitado em dois lados por uns e com uma base igual em comprimento ao número da linha. As filas são simétricas, pois lêem as mesmas para trás e para frente.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Aplicando o triângulo de Pascal na álgebra 
 
 Pascal descobriu o triângulo, que era conhecido há séculos por filósofos persas e chineses, quando estudava a expansão algébrica da expressão (x + y)  n. Quando você expande essa expressão para a enésima potência, os coeficientes dos termos na expansão correspondem aos números da enésima linha do triângulo. Por exemplo, (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 e assim por diante. Por essa razão, os matemáticos às vezes chamam o arranjo de triângulo de coeficientes binomiais. Para grandes números de n, é obviamente mais fácil ler os coeficientes de expansão do triângulo do que calculá-los. 
 
 Triângulo de Pascal na teoria da probabilidade 
 
 Suponha que você lança uma moeda um certo número de vezes. Quantas combinações de cara e coroa você consegue? Você pode descobrir observando a linha no triângulo de Pascal que corresponde ao número de vezes que você lança a moeda e adiciona todos os números daquela linha. Por exemplo, se você jogar a moeda 3 vezes, há 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilidades. A probabilidade de obter o mesmo resultado três vezes seguidas é, portanto, 1/8. 
 
 Da mesma forma, você pode usar o triângulo de Pascal para descobrir quantas maneiras você pode combinar objetos ou escolhas de um determinado conjunto. Suponha que você tenha 5 bolas e queira saber quantas maneiras você pode escolher duas delas. Basta ir para a quinta linha e olhar para a segunda entrada para encontrar a resposta, que é 5. 
 
 Padrões interessantes 
 O triângulo de Pascal contém vários padrões interessantes. Aqui estão algumas delas: 
 
 
 A soma dos números em cada linha é o dobro da soma dos números na linha acima. 
 
 
 
 Lendo em ambos os lados, a primeira linha é todas, a segunda linha são os números contadores, a terceira são os números triangulares, a quarta os números tetraédricos e assim por diante. 
 
 
 
 Cada linha forma o expoente correspondente de 11 após executar uma modificação simples. 
 
 
 
 Você pode derivar a série Fibonacci do padrão triangular. br> 
 
 
 Colorir todos os números ímpares e números pares cria um padrão visual conhecido como triângulo de Sierpinski.