Uma distribuição binomial descreve uma variável X se 1) houver um número fixo n observações da variável; 2) todas as observações são independentes umas das outras; 3) a probabilidade de sucesso p é a mesma para cada observação; e 4) cada observação representa um de exatamente dois resultados possíveis (daí a palavra "binomial" - pense em "binário"). Esta última qualificação distingue distribuições binomiais das distribuições de Poisson, que variam continuamente, em vez de discretamente.

Tal distribuição pode ser escrita B (n, p).

Calculando a Probabilidade de uma Observação Dada

Digamos que um valor k esteja em algum lugar ao longo do gráfico da distribuição binomial, que é simétrica em relação à média np. Para calcular a probabilidade de uma observação ter esse valor, essa equação deve ser resolvida:

P (X = k) = (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

onde (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!

O "!" significa uma função fatorial, por exemplo, 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.

Exemplo

Digamos que um jogador de basquete faça 24 lances livres e tenha uma taxa de sucesso estabelecida de 75% (p = 0,75). Quais são as chances de ela atingir exatamente 20 de seus 24 tiros?

Primeiro calcule (n: k) da seguinte forma:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626

p ^{k = (0,75) 20 = 0,00317}

(1-p) ^{(nk) = (0,25) 4 = 0,00390}

Assim P (20) = (10,626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.

Portanto, este jogador tem 13,1% de chance de fazer exatamente 20 de 24 lances livres, de acordo com o que a intuição pode sugerir sobre um jogador que normalmente acertaria 18 de 24 lances livres (por causa de sua taxa de sucesso estabelecida de 75 por cento).