Às vezes a quantidade x _{f - x i
é escrito}

Δx
, significando "a mudança em x
" ou mesmo simplesmente como d
, significando deslocamento. Todos são equivalentes. Posição, velocidade e aceleração são quantidades vetoriais, o que significa que elas têm direção associada a elas. Em uma dimensão, a direção é normalmente indicada por sinais - quantidades positivas estão na direção positiva e quantidades negativas estão na direção negativa. Subscritos
: "0" pode ser usado para posição e velocidade inicial em vez de i
. Este "0" significa "em t
\u003d 0" e x <sub>0
e v 0
são tipicamente pronunciados "x-zero" e "nada-v". * Apenas uma das equações não inclui tempo. Ao escrever dados e determinar qual equação usar, esta é a chave!


Um caso especial: Queda livre</sub>

O movimento de queda livre é o movimento de um objeto acelerado devido à gravidade sozinho na ausência de resistência do ar. As mesmas equações cinemáticas se aplicam; no entanto, o valor da aceleração próximo à superfície da Terra é conhecido. A magnitude dessa aceleração é frequentemente representada por g
, onde g \u003d 9,8 m /s ^{2. A direção dessa aceleração é descendente, em direção à superfície da Terra. (Observe que algumas fontes podem aproximar-se de g
como 10 m /s 2, e outras podem usar um valor com precisão de mais de duas casas decimais.)
Estratégia de solução de problemas para problemas de cinemática em uma dimensão:}

Esboce um diagrama da situação e escolha um sistema de coordenadas apropriado. (Lembre-se de que x
, v
e a
são quantidades vetoriais; portanto, ao atribuir uma clara direção positiva, será mais fácil rastrear os sinais.)


Escreva uma lista de quantidades conhecidas. (Lembre-se de que, às vezes, os conhecidos não são óbvios. Procure frases como "começa do resto", significando que v _{i
\u003d 0 ou "atinge o chão", ou seja, f
\u003d 0, e assim por diante.)}


Determine qual quantidade a pergunta deseja que você encontre. Qual é o desconhecido que você estará resolvendo?


Escolha a equação cinemática apropriada. Essa será a equação que contém sua quantidade desconhecida, juntamente com quantidades conhecidas.


Resolva a equação para a quantidade desconhecida, conecte os valores conhecidos e calcule a resposta final. (Tenha cuidado com as unidades! Às vezes você precisará converter unidades antes da computação.)

Exemplos de cinemática unidimensional


Exemplo 1: Um anúncio publicitário afirma que um carro esportivo pode ir de 0 a 60 mph em 2,7 segundos. Qual é a aceleração deste carro em m /s ^{2? Qual é a distância percorrida durante esses 2,7 segundos?}


Solução:


(Inserir imagem 2)


Quantidades conhecidas e desconhecidas:
v_i \u003d 0 \\ text {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

A primeira parte da questão requer solução para a aceleração desconhecida. Aqui podemos usar a equação 1:
v_f \u003d v_i + at \\ implica a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Antes de inserir números, no entanto, precisamos converter 60 mph em m /s:
60 \\ cancel {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0,477 \\ text {m /s}} {\\ cancel {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26,8 \\ text {m /s}

Portanto, a aceleração é:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ sublinhado {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

A fim de descobrir até que ponto ele vai nesse período, podemos usar a equação # 2:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 em ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ times 9.93 \\ times 2.7 ^ 2 \u003d \\ sublinhado {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Exemplo 2: Uma bola é lançada a uma velocidade de 15 m /s a uma altura de 1,5 m. Quão rápido está indo quando atinge o chão? Quanto tempo leva para atingir o chão?


Solução:


(Insira imagem 3)


Quantidades conhecidas e desconhecidas:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ text {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ text {m /s} \\\\ a \u003d -9,8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

Para resolver a primeira parte, podemos usar a equação # 3:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ implica v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Tudo já está em unidades consistentes, para que possamos inserir valores:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ approx \\ pm16 \\ text {m /s}

Existem duas soluções aqui. Qual deles está correto? Do nosso diagrama, podemos ver que a velocidade final deve ser negativa. Portanto, a resposta é:
v_f \u003d \\ underline {\\ bold {-16} \\ text {m /s}}

Para resolver o tempo, podemos usar a equação nº 1 ou a equação nº 2. Como a equação 1 é mais simples de trabalhar, usaremos a seguinte:
v_f \u003d v_i + at \\ implica t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9.8} \\ approx \\ underline {\\ bold {3.2} \\ text {s}}

Observe que a resposta para a primeira parte desta pergunta não foi de 0 m /s. Embora seja verdade que, depois que a bola cair, ela terá velocidade 0, esta pergunta quer saber com que rapidez está indo nessa fração de segundo antes do impacto. Depois que a bola entra em contato com o solo, nossas equações cinemáticas não se aplicam mais porque a aceleração não será constante.
Equações cinemáticas para movimento de projéteis (duas dimensões)


Um projétil é um objeto que se move em duas dimensões sob a influência da gravidade da Terra. Seu caminho é uma parábola porque a única aceleração é devido à gravidade. As equações cinemáticas para movimento de projéteis assumem uma forma ligeiramente diferente das equações cinemáticas listadas acima. Usamos o fato de que os componentes de movimento que são perpendiculares entre si - como a direção horizontal x
e a vertical y
- são independentes.
Estratégia de resolução de problemas para movimento de projéteis Problemas cinemáticos:


Esboce um diagrama da situação. Assim como no movimento unidimensional, é útil esboçar o cenário e indicar o sistema de coordenadas. Em vez de usar os rótulos x
, v
e a
para posição, velocidade e aceleração, precisamos de uma maneira de rotular o movimento em cada dimensão separadamente.


Para a direção horizontal, é mais comum usar x
para posição e v _{x
para o componente x da velocidade (observe que a aceleração é 0 neste direção, portanto, não precisamos de uma variável.) Na direção y
, é mais comum usar y
para posição e v y
para o componente y da velocidade. A aceleração pode ser rotulada como a y
ou podemos usar o fato de que sabemos que a aceleração devido à gravidade é g
na direção y negativa, e apenas use isso em vez disso .}


Escreva uma lista de quantidades conhecidas e desconhecidas dividindo o problema em duas seções: movimento vertical e horizontal. Use a trigonometria para encontrar os componentes x e y de qualquer quantidade vetorial que não se encontre ao longo de um eixo. Pode ser útil listar isso em duas colunas:


(insira a tabela 1)


Nota: Se a velocidade for dada como uma magnitude junto com um ângulo, Ѳ
, acima da horizontal, use decomposição vetorial, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
e v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


Podemos considerar nossas três equações cinemáticas de antes e adaptá-las às direções x e y, respectivamente.


Direção X:
x_f \u003d x_i + v_xt

Direção Y:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Observe que a aceleração na direção y
é -g se assumirmos que é positivo. Um equívoco comum é que g \u003d -9,8 m /s ^{2, mas isso está incorreto; g em si é simplesmente a magnitude da aceleração: g \u003d 9,8 m /s 2, então precisamos especificar que a aceleração é negativa.}


Resolva um desconhecido em um dessas dimensões e conecte o que é comum nas duas direções. Enquanto o movimento nas duas dimensões é independente, acontece na mesma escala de tempo, portanto a variável de tempo é a mesma nas duas dimensões. (O tempo que a bola leva para realizar seu movimento vertical é igual à quantidade de tempo que leva para realizar seu movimento horizontal.)

Exemplos de Cinemática do movimento de projétil


Exemplo 1: Um projétil é lançado horizontalmente de um penhasco de 20 m de altura com uma velocidade inicial de 50 m /s. Quanto tempo leva para atingir o chão? A que distância está da base do penhasco?


(insira imagem 4)


Quantidades conhecidas e desconhecidas:


(insira a tabela 2)


Podemos encontrar o tempo necessário para atingir o solo usando a segunda equação de movimento vertical:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ implica t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ times 20)} g} \u003d \\ sublinhado {\\ bold {2.02} \\ text {s}}

Em seguida, para descobrir onde ele chega, x _{f
, podemos usar o equação de movimento horizontal:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ underline {\\ bold {101} \\ text {s}}}

Exemplo 2: Uma bola é lançada a 100 m /s do chão nivelado em um ângulo de 30 graus com a horizontal. Onde ele pousa? Quando é a velocidade menor? Qual é a sua localização no momento?


(inserir imagem 5)


Quantidades conhecidas e desconhecidas:


Primeiro precisamos dividir o vetor de velocidade em componentes:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ aproximadamente 86,6 \\ text {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ texto {m /s}

Nossa tabela de quantidades é então:


(insira a tabela 3)


Primeiro precisamos encontrar a hora em que a bola está voando. Podemos fazer isso com a segunda equação vertical_. Observe que usamos a simetria da parábola para determinar que a velocidade final _y
é negativa da inicial:


Em seguida, determinamos a que distância se move na direção x
neste momento:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 10.2 \\ approx \\ underline {\\ bold {883} \\ text m}

Usando a simetria do caminho parabólico, podemos determinar que a velocidade é menor em 5,1 s, quando o projétil está no pico de seu movimento e o componente vertical de velocidade é 0. Os componentes x e y de seu movimento neste momento são:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86,6 \\ times 5,1 \\ approx \\ underline {\\ bold {442} \\ text m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ times5. 1- \\ frac 1 2 9,8 \\ times 5,1 ^ 2 \\ approx \\ underline {\\ bold {128} \\ text {m}} Derivação de equações cinemáticas


Equação # 1: Se a aceleração for constante, então:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Resolvendo a velocidade, temos:
v_f \u003d v_i + na

Equação # 2: A velocidade média pode ser escrita em duas maneiras :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Se substituirmos _v _{f _com a expressão da equação # 1, obtemos:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Resolvendo para x _{f
dá:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 em ^ 2}

Equação # 3: Comece resolvendo t
na equação # 1
v_f \u003d v_i + at \\ implica t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Conecte esta expressão para t
na relação de velocidade média:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ implica \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Reorganizando esta expressão fornece:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)