A melhor maneira de fatorar polinômios com frações começa com a redução das frações para termos mais simples. Polinômios representam expressões algébricas com dois ou mais termos, mais especificamente, a soma de vários termos que têm expressões diferentes da mesma variável. Estratégias que auxiliam na simplificação de polinômios envolvem fatorar o maior fator comum, seguido pelo agrupamento da equação em seus termos mais baixos. O mesmo se aplica mesmo ao resolver polinômios com frações.
Polinômios com frações definidas

Você tem três maneiras de exibir a frase polinômios com frações. A primeira interpretação aborda polinômios com frações para coeficientes. Na álgebra, o coeficiente é definido como a quantidade ou constante numérica encontrada antes de uma variável. Em outras palavras, os coeficientes para 7a, be (1/3) c são 7, 1 e (1/3), respectivamente. Dois exemplos, portanto, de polinômios com coeficientes de fração seriam:

(1/4) x ^{2 + 6x + 20, bem como x 2 + (3/4) x + ( 1/8).}

A segunda interpretação de "polinômios com frações" refere-se a polinômios existentes na forma de fração ou razão com um numerador e um denominador, em que o polinômio do numerador é dividido pelo polinômio do denominador. Por exemplo, esta segunda interpretação é ilustrada por:

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2 + 11x + 18)}

A terceira interpretação, enquanto isso , refere-se à decomposição parcial da fração, também conhecida como expansão parcial da fração. Às vezes, as frações polinomiais são complexas e, quando são "decompostas" ou "decompostas" em termos mais simples, são apresentadas como somas, diferenças, produtos ou quocientes de frações polinomiais. Para ilustrar, a fração polinomial complexa de (8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2) é avaliada através da decomposição parcial da fração, que, aliás, envolve fatoração de polinômios, a ser [3 /(x + 2 )] + [5 /(x-1)] da forma mais simples.
Fundamentos de fatoração - propriedade distributiva e método FOIL}

Os fatores representam dois números que, quando multiplicados juntos, são iguais a um terceiro número. Nas equações algébricas, o fatoramento determina quais duas quantidades foram multiplicadas para chegar a um determinado polinômio. A propriedade distributiva é fortemente seguida ao multiplicar polinômios. A propriedade distributiva permite essencialmente multiplicar uma soma multiplicando cada número individualmente antes de adicionar os produtos. Observe, por exemplo, como a propriedade distributiva é aplicada no exemplo de:

7 (10x + 5) para chegar ao binômio de 70x + 35.

Mas, se dois binômios são multiplicados juntos, uma versão estendida da propriedade distributiva é utilizada pelo método FOIL. FOIL representa o acrônimo dos termos Primeiro, Exterior, Interno e Último sendo multiplicados. Portanto, fatorar polinômios implica executar o método FOIL ao contrário. Pegue os dois exemplos mencionados acima com os polinômios que contêm coeficientes de fração. A execução do método FOIL para trás em cada um deles resulta nos fatores de:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) para o primeiro polinômio e nos fatores de:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) para o segundo polinômio.

Exemplo: (1/4) x ^{2 + 6x + 20 \u003d ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)}

Exemplo: x ^{2 + (3/4) x + (1/8) \u003d (x + (1/4)) (x + (1/2)) - Etapas a serem tomadas ao fatorar frações polinomiais}

De cima, as frações polinomiais envolvem um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador . A avaliação de frações polinomiais exige, portanto, fatorar o polinômio do numerador primeiro, seguido de fatorar o polinômio do denominador. Ajuda a encontrar o maior fator comum, ou GCF, entre o numerador e o denominador. Uma vez que o GCF do numerador e do denominador é encontrado, ele cancela, reduzindo em última análise a equação inteira em termos simplificados. Considere o exemplo da fração polinomial original acima de

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2+ 11x + 18).}

Faturando os polinômios do numerador e do denominador para encontrar os resultados do GCF em:

[(x + 2) (x + 5)] ÷ [(x + 2) (x + 9)], com o GCF sendo (x + 2).

O GCF, tanto no numerador quanto no denominador, se cancelam para fornecer a resposta final nos termos mais baixos de (x + 5) ÷ (x + 9).

Exemplo:

x ^{2 + 7x + 10 (x + 2)
(x + 5) (x + 5)}

_
_
\u003d
_
_
_ \u003d _
_

x ^{2+ 11x + 18 (x + 2)
(x + 9) (x + 9)
Avaliando equações por decomposição de frações parciais}

A decomposição de frações parciais, que envolve fatoração, é uma maneira de reescrever complexos equações da fração polinomial em forma mais simples. Revisitando o exemplo acima de

(8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2).
Simplifique o denominador}

Simplifique o denominador para obter: (8x + 7) ÷ [(x + 2) (x - 1)].

8x + 7 8x + 7

_
_
< em> \u003d
_
_

x ^{2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Reorganize o Numerador}

Em seguida, reorganize o numerador para que ele comece a ter os GCFs presentes no denominador, para obter:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1)], que é expandido ainda mais para {(3x - 3) ÷ [(x + 2) (x - 1)]} + {(5x + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1 )]}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

_
_
_
_ \u003d _
_
_
\u003d _
_
____ +

( x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Para o adendo esquerdo, o GCF é (x - 1), enquanto para o adendo certo, o GCF é (x + 2), que é cancelado no numerador e denominador, como visto em {[(3 (x - 1)) ÷ ((x + (x - 1) (x + 2))]}.

3x - 3 5x + 10 3 (x - 1)
5 (x + 2)

_
_
_ +
_
_
\u003d
< em> _
_
_ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) ( x - 1)
(x + 2)
(x - 1)

Assim, quando os GCFs cancelam, a resposta final simplificada é [3 ÷ (x + 2)] + [5 ÷ (x - 1)]:

3 5

_
_
+ _
_ como o solução da decomposição da fração parcial.

x + 2 x - 1