Assim como na álgebra, quando você começa a aprender a trigonometria, você acumula conjuntos de fórmulas que são úteis para a solução de problemas. Um desses conjuntos são as identidades de meio ângulo, que você pode usar para dois propósitos. Uma delas é converter funções trigonométricas de (θ /2) em funções em termos do mais familiar (e mais facilmente manipulado) θ. A outra é encontrar o valor real das funções trigonométricas de θ, quando θ pode ser expresso como metade de um ângulo mais familiar.
Revendo as identidades de meio ângulo
Muitos livros de matemática listarão quatro identidades primárias de meio ângulo. Mas aplicando uma mistura de álgebra e trigonometria, essas equações podem ser massageadas em várias formas úteis. Você não precisa necessariamente memorizar tudo isso (a menos que seu professor insista), mas você deve, pelo menos, entender como usá-los:
Identidade em meio-ângulo para o seno
< li> sen (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Identidade de meio-ângulo para Coseno
Identidades de meio ângulo para tangente
Identidades de meio ângulo para a Cotangent
Um exemplo de uso de identidades de meio ângulo
Então, como você usa identidades de meio ângulo? O primeiro passo é reconhecer que você está lidando com um ângulo que é metade de um ângulo mais familiar.
Encontre θ
imagine que você seja solicitado a encontrar o seno do ângulo de 15 graus . Este não é um dos ângulos que a maioria dos alunos irá memorizar para os valores das funções trigonométricas. Mas se você deixar 15 graus ser igual a θ /2 e então resolver para θ, você verá que:
θ /2 = 15
θ = 30
Como o resultado θ, 30 graus, é um ângulo mais familiar, usar a fórmula de meio ângulo aqui será útil.
Escolher uma fórmula de meio ângulo
Porque você foi solicitado a encontrar o seno, há realmente apenas uma fórmula de meio-ângulo para escolher:
sen (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]
Substituindo em θ /2 = 15 graus e θ = 30 graus dá a você:
sen (15) = ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Se você fosse solicitado a encontrar a tangente ou cotangente, ambos meio que multiplicam formas de expressar sua identidade de meio-ângulo, você simplesmente escolheria a versão que parecia mais fácil de trabalhar.
Resolver o sinal de ±
O sinal no início de algumas identidades de meio ângulo significa que a raiz em questão pode ser positiva ou negativa. Você pode resolver essa ambigüidade usando seu conhecimento de funções trigonométricas em quadrantes. Aqui está uma rápida recapitulação de quais funções trigonométricas retornam valores positivos nos quais os quadrantes: Porque neste caso seu ângulo θ representa 30 graus, que cai no quadrante I, você sabe que o valor do seno que ele retorna será positivo. Então você pode soltar o sinal ± e simplesmente avaliar: sen (15) = √ [(1 - cos (30)) /2] Substitua os Valores Familiares por > Substitua no valor conhecido conhecido de cos (30). Nesse caso, use os valores exatos (em oposição a aproximações decimais de um gráfico): sin (15) = √ [(1 - √3 /2) /2] Simplifique Sua Equação Em seguida, simplifique o lado direito de sua equação para encontrar um valor para o pecado (15). Comece multiplicando a expressão sob o radical por 2/2, o que dá a você: sen (15) = √ [2 (1 - /3 /2) /4] Isso simplifica para: sin (15) = √ [(2 - √3) /4] Você pode então fatorar a raiz quadrada de 4: sin (15 ) = (1/2) √ (2 - √3) Na maioria dos casos, isso é o que você simplifica. Embora o resultado possa não ser muito bonito, você traduziu o seno de um ângulo desconhecido em uma quantidade exata.
