As funções matemáticas são ferramentas poderosas para os negócios, a engenharia e as ciências, porque podem atuar como modelos em miniatura de fenômenos do mundo real. Para entender funções e relações, você precisa cavar um pouco em conceitos como conjuntos, pares ordenados e relações. Uma função é um tipo especial de relação que possui apenas um valor y para um determinado valor x. Existem outros tipos de relações que parecem funções, mas não atendem à definição estrita de uma.

TL; DR (muito longo; não foi lida)

Uma relação é um conjunto de funções. números organizados em pares. Uma função é um tipo especial de relação que tem apenas um valor y para um determinado valor x.

Conjuntos, Pares Ordenados e Relações

Para descrever relações e funções, ajuda primeiro discutir conjuntos e ordenou pares. Resumidamente, um conjunto de números é uma coleção deles, normalmente contidos em chaves, como {15,1, 2/3} ou {0, .22}. Normalmente, você define um conjunto com uma regra, como todos os números pares entre 2 e 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.

Um conjunto pode ter qualquer número de elementos ou nenhum, isto é, o conjunto nulo {}. Um par ordenado é um grupo de dois números entre parênteses, como (0,1) e (45, -2). Por conveniência, você pode chamar o primeiro valor em um par ordenado com o valor de x e o segundo com o valor de y. Uma relação organiza pares ordenados em um conjunto. Por exemplo, o conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} é uma relação. Você pode plotar os valores xey de uma relação em um gráfico usando os eixos x e y

Relações e funções

Uma função é uma relação na qual qualquer valor x dado tem apenas um valor y correspondente. Você pode pensar que com pares ordenados, cada x tem apenas um valor y de qualquer maneira. No entanto, no exemplo de uma relação dada acima, observe que os valores x 1 e 2 têm dois valores y correspondentes, 0 e 5, e 10 e 15, respectivamente. Essa relação não é uma função. A regra dá à relação de função uma definição que não existe, em termos de valores x. Você poderia perguntar, quando x é 1, qual é o valor y? Para a relação acima, a questão não tem resposta definida; poderia ser 0, 5 ou ambos.

Agora examine um exemplo de uma relação que é uma função verdadeira: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. Os valores de x não são repetidos em nenhum lugar. Como outro exemplo, veja {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Alguns valores de y são repetidos, mas isso não viola a regra. Você ainda pode dizer que quando o valor de x é 0, y é definitivamente 5.

Funções Gráficas: Teste de Linha Vertical

Você pode dizer se uma relação é uma função plotando os números em um gráfico e aplicando o teste de linha vertical. Se nenhuma linha vertical passando pelo gráfico cruza-a em mais de um ponto, a relação é uma função.

Funciona como Equações

Escrever um conjunto de pares ordenados como uma função contribui para um Exemplo fácil, mas rapidamente se torna tedioso quando você tem mais do que alguns números. Para resolver esse problema, os matemáticos escrevem funções em termos de equações, como y = x ^ 2 - 2x + 3. Usando essa equação compacta, você pode gerar quantos pares ordenados desejar: Conecte valores diferentes para x, faça o matemática, e fora seus valores y.

Usos do mundo real das funções

Muitas funções servem como modelos matemáticos, permitindo que as pessoas compreendam detalhes de fenômenos que, de outra forma, permaneceriam misteriosos. Para dar um exemplo simples, a equação de distância para um objeto em queda é d = 0,5 x g x t ^ 2, onde t é o tempo em segundos, e g é a aceleração devido à gravidade. Conecte 9,8 para a gravidade da terra em metros por segundo ao quadrado, e você pode encontrar a distância em que um objeto caiu a qualquer momento. Note que, para toda a sua utilidade, os modelos têm limitações. A equação do exemplo funciona bem para soltar uma bola de aço, mas não uma pena, porque o ar diminui a penugem.