Em matemática, um recíproco de um número é o número que, quando multiplicado pelo número original, produz 1. Por exemplo, o recíproco para a variável x é 1 /x, porque x • 1 /x = x /x = 1. Neste exemplo, 1 /x é a identidade recíproca de x e vice-versa. Na trigonometria, qualquer um dos ângulos não-90 graus em um triângulo retângulo pode ser definido por razões chamadas de seno, cosseno e tangente. Aplicando o conceito de identidades recíprocas, os matemáticos definem mais três razões. Seus nomes são cossegantes, secantes e cotangentes. O cosecant é a identidade recíproca do seno, secante do cosseno e da cotangente o da tangente.
Como determinar as identidades recíprocas
Considere um ângulo θ, que é um dos dois não-90- ângulos de grau em um triângulo retângulo. Se o comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo é "b", o comprimento do lado adjacente ao ângulo e oposto ao hipotenus é "a" e o comprimento da hipotenusa é "r", podemos definir os três razões trigonométricas primárias em termos desses comprimentos.
A identidade recíproca do pecado θ deve ser igual a 1 /sin θ, pois esse é o número que, quando multiplicado por sin θ, produz 1. O mesmo vale para cos θ e tan θ. Os matemáticos dão a esses recíprocos os nomes de cossecante, secante e cotangente, respectivamente. Por definição:
Você pode definir essas identidades recíprocas em termos dos comprimentos dos lados do triângulo retângulo da seguinte forma:
< li> csc θ = r /b
Os seguintes relacionamentos são verdadeiros para qualquer ângulo θ:
Duas outras identidades trigonométricas
Se você conhece o seno e cosseno de um ângulo, você pode derivar a tangente. Isto é verdade porque sin θ = b /r e cos θ = a /r, então sin θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Como essa é a definição de tan θ, segue-se a seguinte identidade, conhecida como identidade do quociente:
A identidade pitagórica se baseia no fato de que, para qualquer triângulo retângulo com lados aeb e hipotenusa r, o seguinte é verdadeiro: a 2 + b 2 = r 2. Reorganizando termos e definindo proporções em termos de seno e cosseno, você chega à seguinte expressão: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 Dois outros relacionamentos importantes siga quando você inserir identidades recíprocas para seno e cosseno na expressão acima:
