Quando você é apresentado com uma matriz em uma aula de matemática ou física, muitas vezes é solicitado que você encontre seus autovalores. Se você não tem certeza do que isso significa ou como fazê-lo, a tarefa é assustadora e envolve muitas terminologias confusas que tornam as coisas ainda piores. No entanto, o processo de cálculo de autovalores não é muito desafiador se você estiver confortável com a solução de equações quadráticas (ou polinomiais), desde que você aprenda os fundamentos de matrizes, autovalores e autovetores.

Matrizes, autovalores e autovetores: O que eles significam

Matrizes são matrizes de números onde A substitui o nome de uma matriz genérica, como esta:

(
1 3

A
= (4 2)

Os números em cada posição variam, e pode até haver expressões algébricas em seu lugar. Esta é uma matriz 2 × 2, mas eles vêm em uma variedade de tamanhos e nem sempre têm números iguais de linhas e colunas.

Lidar com matrizes é diferente de lidar com números comuns, e existem específicos regras para multiplicar, dividir, adicionar e subtrair uma a outra. Os termos “autovalor” e “autovetor” são usados ​​na álgebra matricial para se referir a duas grandezas características com relação à matriz. Esse problema de autovalor ajuda você a entender o que o termo significa:

A
∙ v = λ ∙ v

A é uma matriz geral como antes, v é algum vetor e λ é um valor característico. Observe a equação e observe que quando você multiplica a matriz pelo vetor v, o efeito é reproduzir o mesmo vetor apenas multiplicado pelo valor λ. Esse é um comportamento incomum e ganha o vetor v e a quantidade λ de nomes especiais: o autovetor e o autovalor. Estes são valores característicos da matriz porque multiplicar a matriz pelo autovetor deixa o vetor inalterado para além da multiplicação por um fator do autovalor.

Como calcular os autovalores

Se você tem o problema de autovalor para a matriz de alguma forma, encontrar o autovalor é fácil (porque o resultado será um vetor igual ao original, exceto multiplicado por um fator constante - o autovalor). A resposta é encontrada resolvendo a equação característica da matriz:

det (A - λ I
) = 0

Onde eu é a matriz de identidade, que está em branco além de uma série de 1s correndo diagonalmente pela matriz. "Det" refere-se ao determinante da matriz, que para uma matriz geral:

(ab)

A
= (cd)

dado por

det A = ad –bc

Portanto, a equação característica significa:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Como uma matriz de exemplo, vamos definir A como:

(0 1)

A
= (−2 −3)

Então, isso significa:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) = 0

= −λ (−3 - λ) + 2

= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

As soluções para λ são os autovalores, e você resolve isso como qualquer equação quadrática. As soluções são λ = - 1 e λ = - 2.

TL; DR (muito longo; não lidos)

Em casos simples, os autovalores são mais fáceis de encontrar. Por exemplo, se os elementos da matriz forem todos zero separados de uma linha na diagonal principal (do canto superior esquerdo para o canto inferior direito), os elementos da diagonal funcionam como autovalores. No entanto, o método acima sempre funciona.

Localizando autovetores

Encontrar os autovetores é um processo semelhante. Usando a equação:

(A - λ) ∙ v = 0

com cada um dos autovalores que você encontrou. Isso significa:

(a - λ b) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

(A - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Você pode resolver isso considerando cada linha por vez. Você só precisa da proporção de v
_{1 para v em 2, porque haverá infinitas soluções potenciais para v 1 e v
2.}