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    Polinômios: Adicionando, Subtraindo, Dividindo e Multiplicando

    Todos os estudantes de matemática e muitos estudantes de ciências encontram polinômios em algum momento dos estudos, mas, felizmente, eles são fáceis de lidar quando você aprende o básico. As principais operações que você precisará fazer com expressões polinomiais são adicionar, subtrair, multiplicar e dividir e, embora a divisão possa ser complexa, na maioria das vezes você será capaz de lidar com o básico com facilidade.
    Polinômios: Definição e exemplos

    Polinômio descreve uma expressão algébrica com um ou mais termos envolvendo uma variável (ou mais de um), com expoentes e possivelmente constantes. Eles não podem incluir divisão por uma variável, não podem ter expoentes negativos ou fracionários e devem ter um número finito de termos.

    Este exemplo mostra um polinômio:

    x

    3 + 2 x
    2 - 9 x
    - 4

    E isso mostra outro:

    xy

    2 - 3 x
    + y

    Há muitas maneiras de classificar polinômios, incluindo por grau (a soma dos expoentes no termo de maior potência, por exemplo, 3 no primeiro exemplo) e pelo número de termos que eles contêm, como monômios (um termo), binômios (dois termos) e trinômios (três
    Adicionando e subtraindo polinômios

    A adição e subtração de polinômios depende da combinação de termos "semelhantes". Um termo semelhante é aquele com as mesmas variáveis e expoentes que outro, mas o número pelo qual eles são multiplicados (o coeficiente) pode ser diferente. Por exemplo, x
    2 e 4 x
    2 são termos semelhantes porque têm a mesma variável e expoente, e 2 xy
    4 e 6 xy
    4 também são termos semelhantes. No entanto, x
    2, x
    3, x
    2 e
    2 e < em> y
    2 não são termos semelhantes, porque cada um contém combinações diferentes de variáveis e expoentes.

    Adicione polinômios combinando termos semelhantes da mesma maneira que faria com outros termos algébricos. Por exemplo, observe o problema:

    ( x
    3 + 3 x
    ) + (9 x
    3 + 2 x
    + y
    )

    Colete os termos semelhantes a obter:

    ( x
    3 + 9 x
    3) + (3 x
    + 2 x
    ) + y

    E avalie simplesmente adicionando os coeficientes e combinando em um único termo:

    10 x
    3 + 5 x
    + y

    Observe que você não pode fazer nada com y
    porque não possui um termo semelhante.

    Subtração funciona da mesma maneira:

    (4 x
    4 + 3 y
    2 + 6 y
    ) - (2 x
    4 + 2 y
    2 + y
    )

    Primeiro, observe que todos os termos no suporte à direita são subtraídos dos que estão no suporte à esquerda, então escreva-os como :

    4 x
    4 + 3 y
    2 + 6 y
    - 2 x
    4 - 2 y
    2− y

    Combine termos semelhantes e avalie para obter:

    (4 x
    4-2 x
    4) + (3 y
    2 - 2 y
    2) + (6 y
    - y
    )

    \u003d 2 x
    4 + y
    2 + 5 y

    Para um problema como o seguinte:

    (4 xy
    + x
    2) - (6 xy
    - 3 x
    2)

    Observe que o sinal de menos é aplicado a toda a expressão no colchete direito, portanto, os dois sinais negativos antes de 3_x_ 2 se tornam um sinal de adição:

    (4 xy
    + x
    2) - (6 xy
    - 3 x
    2) \u003d 4 xy
    + x
    2 - 6 xy
    + 3 x
    2

    Em seguida, calcule como antes.
    Multiplicando expressões polinomiais

    Multiplique expressões polinomiais usando a propriedade distributiva da multiplicação. Em resumo, multiplique cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo. Veja este exemplo simples:

    4 x
    × (2 x
    2 + y
    )

    Você resolva isso usando a propriedade distributiva, portanto:

    4 x
    × (2 x
    2 + y
    ) \u003d (4 < em> x
    × 2 x
    2) + (4 x
    × y
    )

    \u003d 8 x
    3 + 4 xy

    Resolva problemas mais complicados da mesma maneira:

    (2 y
    3 + 3 x
    ) × (5 x
    2 + 2 x
    )

    \u003d (2 y
    3 × (5 x
    2 + 2 x
    )) + (3 x
    × (5 x
    2 + 2 x
    ))

    \u003d (2 y
    3 × 5 x
    2) + (2 y
    3 × 2 x
    ) + (3 x
    × 5 x
    2) + (3 x
    × 2 x
    )

    \u003d 10 y
    3 x
    2 + 4 < em> y
    3 x
    + 15 x
    3 + 6 x
    2

    Estes problemas podem se complicar para grupos maiores, mas o processo básico ainda é o mesmo.
    Dividindo o polinômio E xpressions

    A divisão de expressões polinomiais leva mais tempo, mas você pode resolvê-las em etapas. Veja a expressão:

    ( x
    2 - 3 x
    - 10) /( x
    + 2)

    Primeiro, escreva a expressão como uma divisão longa, com o divisor à esquerda e o dividendo à direita:

    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    Divida o primeiro termo no dividendo pelo primeiro termo no divisor e coloque o resultado na linha acima do divisão. Nesse caso, x
    2 ÷ x
    \u003d x
    , portanto:

    x


    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    Multiplique esse resultado pelo divisor inteiro, portanto, neste caso, ( x
    + 2) × x
    \u003d x
    2 + 2 < em> x
    . Coloque este resultado abaixo da divisão:

    x


    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    x
    2 + 2 x


    Subtraia o resultado da nova linha dos termos diretamente acima (observe que tecnicamente você altera o sinal; portanto, se tiver um resultado negativo, adicione-o) e coloque-o em uma linha abaixo. Mova o termo final do dividendo original para baixo também.

    x


    x


    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    x
    2 + 2 x

    0 - 5 x
    - 10

    Agora repita o processo com o divisor e o novo polinômio na linha inferior. Portanto, divida o primeiro termo do divisor ( x
    ) pelo primeiro termo do dividendo (−5 x
    ) e coloque-o acima:

    x

    - 5


    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    x
    2 + 2 x

    0 - 5 x
    - 10

    Multiplique este resultado (−5 x
    ÷ x
    \u003d −5) pelo divisor original (então (< em> x
    + 2) × −5 \u003d −5 x
    −10) e coloque o resultado em uma nova linha inferior:

    x

    - 5


    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    x
    2 + 2 x

    0 - 5 x
    - 10

    −5 x
    - 10

    Em seguida, subtraia a linha inferior da seguinte (então, neste caso, altere o sinal e adicione) e coloque o resultado em uma nova linha inferior:

    x

    - 5


    x

    + 2) x
    2 - 3 x
    - 10

    x
    2 + 2 x

    0 - 5 x
    - 10

    −5 x
    - 10

    0 0

    Como agora há uma linha de zeros na parte inferior, o processo está concluído. Se houvesse termos diferentes de zero, você repetiria o processo novamente. O resultado está na linha superior, portanto:

    ( x
    2 - 3 x
    - 10) /( x
    + 2) \u003d x
    - 5

    Esta divisão e algumas outras podem ser resolvidas de maneira mais simples se você puder fatorar o polinômio no dividendo.

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