Frações radicais não são pequenas frações rebeldes que ficam até tarde, bebendo e fumando maconha. Em vez disso, são frações que incluem radicais - geralmente raízes quadradas quando você é apresentado ao conceito pela primeira vez, mas depois você também pode encontrar raízes cúbicas, quartas raízes e coisas do tipo, todas chamadas radicais também. Dependendo de exatamente o que seu professor está lhe pedindo, há duas maneiras de simplificar as frações radicais: ou fatorar o radical completamente, simplificá-lo ou "racionalizar" a fração, o que significa eliminar o radical do denominador, mas ainda pode tem um radical no numerador.

Cancelando expressões radicais de uma fração

Considere sua primeira opção, fatorando o radical fora da fração. Na verdade, existem duas maneiras de fazer isso. Se o mesmo radical existir em todos os termos na parte superior e inferior da fração, você pode simplesmente fatorar e cancelar a expressão radical. Por exemplo, se você tem:

(2√3) /(3√3 _) _

Você pode fatorar ambos os radicais, porque eles estão presentes em todos os termos no numerador e denominador. Isso deixa você com:

√3 /√3 × 2/3

E como qualquer fração com os mesmos valores diferentes de zero no numerador e no denominador é igual a um, você pode reescrever isto como:

1 × 2/3

Ou simplesmente 2/3.

Simplificando a Expressão Radical

Às vezes você se depara com um expressão radical que não tem uma resposta concisa, como √3 do exemplo anterior. Nesse caso, você normalmente preservará o termo radical exatamente como está, usando operações básicas como fatoração ou cancelamento para removê-lo ou isolá-lo. Mas às vezes há uma resposta óbvia. Considere a seguinte fração:

(√4) /(√9)

Neste caso, se você conhece suas raízes quadradas, você pode ver que ambos os radicais realmente representam inteiros familiares. A raiz quadrada de 4 é 2, e a raiz quadrada de 9 é 3. Então, se você vê raízes quadradas familiares, você pode apenas reescrever a fração com elas em sua forma simplificada e inteira. Nesse caso, você teria:

2/3

Isso também funciona com raízes cúbicas e outros radicais. Por exemplo, a raiz cúbica de 8 é 2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Portanto, se você encontrou:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Você poderia, com um pouco de prática, ser capaz de ver de imediato que simplifica o que é muito mais simples e fácil de manusear:

2/5

Racionalizando o Denominator

Geralmente, os professores permitem que você mantenha expressões radicais no numerador de sua fração; mas, assim como o número zero, os radicais causam problemas quando aparecem no denominador ou no número inferior da fração. Assim, a última maneira pela qual você pode ser solicitado a simplificar as frações radicais é uma operação chamada de racionalização, o que significa simplesmente tirar o radical do denominador. Muitas vezes, isso significa que a expressão radical aparece no numerador.

Considere a fração

4 /_√_5

Você não pode simplificar facilmente _√_5 para um inteiro, e mesmo se você fatorar, ainda é deixado com uma fração que tem um radical no denominador, da seguinte maneira:

1 /_√_5 × 4/1

> Portanto, nenhum dos métodos já discutidos funcionará. Mas se você se lembrar das propriedades das frações, uma fração com qualquer número diferente de zero no topo e na base é igual a 1. Então você pode escrever:

√_5 /√ 5 5 = 1

E como você pode multiplicar 1 vezes qualquer outra coisa sem alterar o valor dessa outra coisa, você também pode escrever o seguinte sem realmente alterar o valor da fração:

√_5 /
√ 5 × 4 /

_5

Depois de se multiplicar, algo especial acontece. O numerador se torna 4_√_5, o que é aceitável porque seu objetivo era simplesmente tirar o radical do denominador. Se aparecer no numerador, você pode lidar com isso.

Enquanto isso, o denominador se torna √_5 ×
√ 5 ou (em √_5) ^{2 E porque uma raiz quadrada e um quadrado se anulam, isso simplifica para simplesmente 5. Então sua fração é agora:}

4_√_5 /5, que é considerada uma fração racional porque não há radical no denominador.