Na matemática, uma função é uma regra que relaciona todos os elementos de um conjunto, chamado domínio, a exatamente um elemento em outro conjunto, chamado de intervalo. Em um eixo x-y, o domínio é representado no eixo x (eixo horizontal) e o domínio no eixo y (eixo vertical). Uma regra que relaciona um elemento no domínio a mais de um elemento no intervalo não é uma função. Esse requisito significa que, se você representar graficamente uma função, não poderá encontrar uma linha vertical que cruze o gráfico em mais de um local.

TL; DR (muito longo; não foi lida)

Uma relação é uma função somente se relacionar cada elemento em seu domínio a apenas um elemento no intervalo. Quando você representa graficamente uma função, uma linha vertical a interceptará em apenas um ponto.

Representação matemática

Os matemáticos geralmente representam funções pelas letras "f (x)", embora quaisquer outras letras funcionem tão bem. Você lê as letras como "f de x". Se você escolher representar a função como g (y), você a leria como "g de y". A equação da função define a regra pela qual o valor de entrada x é transformado em outro número. Há um número infinito de maneiras de fazer isso. Aqui estão três exemplos:

f (x) = 2x

g (y) = y ^{2 + 2y + 1}

p (m) = 1 /√ (m - 3)

Determinando o domínio

O conjunto de números para os quais a função "funciona" é o domínio. Isso pode ser todos os números, ou pode ser um conjunto específico de números. O domínio também pode ser todos os números, exceto um ou dois para os quais a função não funciona. Por exemplo, o domínio para a função f (x) = 1 /(2-x) é todos os números exceto 2, porque quando você digita dois, o denominador é 0 e o resultado é indefinido. O domínio para 1 /(4 - x ^{2), por outro lado, é todos os números, exceto +2 e -2, porque o quadrado desses dois números é 4.}

Você também pode identificar o domínio de uma função olhando para o gráfico. Começando no extremo esquerdo e se movendo para a direita, desenhe linhas verticais no eixo x. O domínio é todos os valores de x para os quais a linha intercepta o gráfico.

Quando uma relação não é uma função?

Por definição, uma função relaciona cada elemento no domínio a apenas um. elemento no intervalo. Isso significa que cada linha vertical traçada através do eixo x pode interceptar a função em apenas um ponto. Isso funciona para todas as equações lineares e equações de alta potência nas quais apenas o termo x é elevado a um expoente. Nem sempre funciona para equações nas quais ambos os termos x e y são elevados a uma potência. Por exemplo, x ^{2 + y 2 = a 2 define um círculo. Uma linha vertical pode cruzar um círculo em mais de um ponto, portanto, essa equação não é uma função.}

Em geral, uma relação f (x) = y é uma função somente se, para cada valor de x você se conecta a ele, você obtém apenas um valor para y. Às vezes, a única maneira de saber se um determinado relacionamento é uma função ou não é tentar vários valores para x para ver se eles produzem valores exclusivos para y.

Exemplos: as equações a seguir definem funções?

y = 2x +1 Esta é a equação de uma linha reta com declive 2 e intercepto y 1, então é uma função.

y2 = x + 1 Seja x = 3. O valor para y pode então ser ± 2, então isso NÃO é uma função.

y ^{3 = x 2 Não importa o valor que definimos para x, obteremos apenas um valor para y, então esta é uma função.}

y ^{2 = x 2 Porque y = ± √x 2, isso NÃO é uma função.}